В треугольнике со сторонами AB = 4, BC = 2, AC = 3 вписана окружность. Найти площадь треугольника AMN, где M, N - точки касания
В треугольнике со сторонами AB = 4, BC = 2, AC = 3 вписана окружность. Найти площадь треугольника AMN, где M, <span />N - точки касания этой окружности со сторонами AB и AC соответственно
Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно l=p-c.Итак, AM=4,5-2=2,5; ВN=ВМ=4,5-3=1,5(ВN=ВМ равны, как касательные из одной точки к окружности) и CN=4,5-4=0,5. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Отсюда найдем косинусы углов В и С нашего треугольникаИтак,АС²=АВ²+ВС²-2АВ*ВС*CosB. Или 9=16+4-16*CosB, откуда CosB=11/16.АВ²=АС²+ВС²-2*АС*ВС*CosС или 16=9+4-12*CosС, откуда CosС=-1/4. (угол С - тупой). Теперь по этим же формулам найдем стороны MN и AN.MN²=2*ВМ²-2*ВМ²*CosB=4,5-4,5*11/16 = 1,4. MN=1,18AN²=АС²+CN²-2*АС*CN*CosС=9+0,25+2*9*0,25*1/4 = 10,375. MN=3,22.<span>И теперь, зная все три стороны треугольника AMN, найдем его площадь по формуле Герона:S=√[(p-a)(p-b)(p-c)*p]=√(0,5*2,5*1,5*4,5)=√8,4375 = 2,9.</span>
Обратная задача той, что я только что писал) Пусть RBQL - трапеция, <R = 45*; QL = 16 см, RL = 26 см. Опустим высоту BM на прямую RL. Четырехугольник BQLM является прямоугольником, так как <Q=<L=<M=90*. Отсюда следует, что QL=BM=16 см . В треугольнике RBM <B=<R=45* из теоремы о сумме углов тр-ка. Значит, по признаку RBM - равнобедренный тр-к. Значит,RM = BM = 16 см. Из аксиомы планиметрии 3.1 имеем, что BQ = RL - RM = 26 - 16 = 10 (см) Ответ: 10 см.