Question

В равносторонний треугольник со стороной 2 корня из 3 вписано бесконечную последовательность кругов, касаются друг к другу и к сторонам этого треугольника (на рис. 43 изображено первые три круга этой последовательности). Найдите сумму длин (в см) всех кругов упомянутой бесконечной последовательности.
Может кому то будет проще другие задачи но 90, 93 я уже решил.

Answer 1

Ну, вообщем) Я немного подумал, и кое-что надумал, но за правильность не ручаюсь)

Мы имеем равносторонний треугольник со стороной a=2корень(3). Значит мы можем найти радиус вписанной окружности и высоту треугольника:
r1=a/2корень(3)=1 см;
h1=a*корень(3)/2=3 см;

Диаметр окружности равен 2-ум радиусам: d1=2r1=2 см;
Если отнять от высоты нашего треугольника диаметр окружности, то мы получим высоту следующего, более маленького равностороннего треугольника: h2=h1-d1=1 см;
Теперь мы знаем, что высота более маленького треугольника относится к большему как 1 относится к 3: h2/h1=1/3;

Если диаметр равностороннего треугольника выразить через его высоту, получится d=2h/3;

По заданию нам нужно найти сумму длин все окружностей. P=P1+P2+...+Pn; Длина окружности равна P=dп;
Значит длина всех окружностей будет равна P=п(d1+d2+...+dn);
Диаметры окружностей вписанных в треугольники будут относится друг к другу также, как относятся друг к другу высоты этих треугольников (т.к. мы вывели формулу d=2h/3):
d2/d1=h2/h1=1/3;

Наши диаметры буду представлять собой геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3;
Формула суммы n  членов геометрической прогрессии:
Sn=(b1(1-q^n))/(1-q) , где b1=d1=2 см, а q=1/3 (т.к. кругов бесконечное множество, то n=бесконечность);

P=п(d1+d2+...+dn)=пSn=п(2(1-(1/3^бесконечность))/(1-1/3)=6п/2 * (1-(1/3^бесконечность)=3п - п/3^бесконечность.
Ответ: 3п - п/3^бесконечность.