Question

Через центр окружности x^2+y^2=2x проведена прямая, параллельная прямой x+2y=0 и пересекающая окружность в точках A и B. найдите площадь треугольника AOB, где точка О - начало координат

Answer 1

$x^2+y^2=2x\\ \\ x^2-2x+1+y^2=1\\ \\ (x-1)^2+y^2=1$

Это уравнение окружности с центром (1;0) и радиусом R = 1.

Пусть общий вид неизвестной прямой y = kx + b. Эта прямая параллельна прямой x + 2y = 0, т.е. у параллельных прямых угловые коэффициенты равны: k = -0.5. Получаем y = -0.5x + b. Известно, что прямая y = -0.5x + b проходит через центр окружности (1;0), т.е., подставляя координаты точки центра окружности, мы найдем коэффициент b

$0=-0.5\cdot 1+b\\ \\ b=0.5$

Таким образом, нашли неизвестную прямую y = -0.5x + 0.5 или x + 2y - 1 = 0

Наглядно нарисуем графики и данный треугольник.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точку O(0;0) и перпендикулярно прямой x + 2y - 1 = 0.

Прямая, проходящая через точку M(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнением:

$\dfrac{x-x_0}{A}=\dfrac{y-y_0}{B}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{x-0}{0.5}=\dfrac{y-0}{1}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{y=2x}$

Далее найдем координаты точки пересечения двух прямых y = -0.5x + 0.5 и y = 2x.

$2x=-0.5x+0.5~~~\big|\cdot 2\\ \\ 4x=-x+1\\ \\ 5x=1\\ \\ x=\dfrac{1}{5}\\ \\ y=\dfrac{2}{5}$

Точка D имеет координаты $\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{2}{5}\right).$. Расстояние от точки О до точки D:

$|OD|=\sqrt{\left(0-\dfrac{1}{5}\right)^2+\left(0-\dfrac{2}{5}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{25}+\dfrac{4}{25}}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

∠AOB опирается на диаметр AB, следовательно, ∠AOB = 90°, а диаметр окружности в два раза больше радиуса, т.е. AB = 2R = 2 * 1 = 2.

Площадь треугольника AOB:

$S=\dfrac{1}{2}\cdot ah=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot OD=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ кв.ед.

Ответ: 1/√5 кв. ед..