Привет) Сама долго думала над решением) Но решила)
Естественно, что равные отрезки FM и FK отложены на сторонах FD и FE, которые равны по условию (других вариантов просто нет). Значит отрезок КМ параллелен отрезку DE. Следовательно, треугольник FMK подобен треугольнику FED, то есть является равнобедренным. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: <FKM=<FMK. Значит равны и смежные с этими углами углы: <DKM=<ЕMК.
Треугольники DKM и ЕМК равны по двум сторонам и углу между ними (ЕМ=KD, так как DF=EF и FM=FK, a MK - общая).
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, то есть <DMK=<EKM. Тогда и <DKE=<DME, как разность равных углов:
<DKE=<DKM-<EKM и <DME=<EMK-<DMK.
Что и требовалось доказать.
Действительно, по теореме синусов сразу пришется ответ, задача сводится к вычислению sin(75) (везде имеются ввиду градусы!).
sin(75) = sin(90-15) = cos(15);
Известно, что 2*cos(15)*sin(15) = sin(30) = 1/2; пусть cos(15)=x; sin(15) = SQRT(1-x^2);
Имеем уравнение
x*SQRT(1-x^2) = 1/4; возводим в квадрат, получаем (проще иногда повторить вывод корней квадратного уравнения, сведя к полному квадрату - так легче бывает выбрать правильный знак у решения);
x^4-x^2+1/16 =0; (x^2 - 1/2)^2 = 1/4 -1/16; x^2 = (1+SQRT(3))/2;
а синус 75 градусов, сами понимаете, - корень :)
sin(75) = SQRT((1+SQRT(3))/2); Это - число. Синусы остальных углов:
sin(45) = SQRT(2)/2; sin(60) = SQRT(3)/2;
Ну, и сама теорем синусов
SQRT(3)/sin(75) = x/sin(45) = y/sin(60); Выписывать ответы не буду.
См. рисунок. В диагонале диагонали в точке пересечения делятся пополам, а также являются биссектрисами углов, поэтому ограничимся рассмотрением ΔABO.
AO=d/2
∠OAB=α/2
1) Вторую диагональ обозначим как
:
(tan — это тангенс).
2) Сторону обозначим
. Найдём её по теореме Пифагора: