Расположим призму в системе координат вершиной В в начало координат, ребро АВ по оси ОХ, ребро ВС по оси ОУ.
Получим координаты точек:
Е(1;0;1), В(0;0;0), Д(1;1;0) и А(1;0;0).
Находим уравнение плоскости ВЕД, решив матрицу:
x-1 y-0 z-1
0-1 0-0 0-1
1-1 1-0 0-1 = 0.
<span>x - 1 <span>y - 0 </span><span>z - 1</span></span>
-1 0 -1
0 1 -1 = 0
<span>(x - 1)(</span>0·(-1)-(-1)·1) - (<span>y - 0)(</span>(-1)·(-1)-(-1)·0) + (<span>z - 1)(</span>(-1)·1-0·0) = 0
1(x - 1) + (-1)(y - 0) + (-1)(z - 1) = 0
x - y - z = 0.
Теперь находим расстояние от А до плоскости ВЕД по формуле:
![d= \frac{|A*Mx+B*My+C*Mz+D|}{ \sqrt{A^2+B^2+C^2} }](https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%20%5Cfrac%7B%7CA%2AMx%2BB%2AMy%2BC%2AMz%2BD%7C%7D%7B%20%5Csqrt%7BA%5E2%2BB%5E2%2BC%5E2%7D%20%7D%20)
Подставим в формулу данные
<span>d = |1·1 + (-1)·0 + (-1)·0 + 0|/</span>√(1² + (-1)² + (-1)²)<span> =
|1 - 0 - 0 + 0|/</span>√(1 + 1 + 1) = 1/√3<span> = <span>√3/3</span> ≈ 0,577350269.
Эту задачу можно решить геометрически.
Расстояние h до плоскости ВЕД - это перпендикуляр из точки А на высоту ЕО равнобедренного треугольника ВЕД.
Если рассмотреть треугольник АЕО, то </span><span>h - это высота на гипотенузу ЕО.
</span>АО - это половина диагонали основания, равно √2/2.
ЕО = √(1²+(√2/2)²) = √(1+(2/4)) = √6/2 = (√2*√3)/2.
<span>h находим из пропорции подобных треугольников:
</span>
![\frac{h}{AE} = \frac{AO}{EO}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bh%7D%7BAE%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BAO%7D%7BEO%7D%20)
![h= \frac{AE*AO}{EO}= \frac{1* \frac{ \sqrt{2} }{2} }{ \frac{ \sqrt{2}* \sqrt{3} }{2} } = \frac{1}{ \sqrt{3} } =](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%20%5Cfrac%7BAE%2AAO%7D%7BEO%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%2A%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B2%7D%2A%20%5Csqrt%7B3%7D%20%20%7D%7B2%7D%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%20%3D)
<span>
<span>0,57735.</span></span>