Question

Дан треугольник АВС такой, что сумма 3 углов А и 2 углов в равна 180. Докажите, что BC^2+CA*AB=AB^2

Answer 1

По условию 3A+2B=180 . так как сумма углов в треугольнике равна 180 , получаем  B+3C=360  и 2C-A=180    
из теореме синусов AC=(BC*sinB)/sinA и AB=(BC*sinC)/sinA          
По теореме косинусов AB^2=BC^2+AC^2-2AC*BC*cosC , приравнивая к AB^2=BC^2+AC*AB получаем  AC-AB = 2*BC*cosC подставляя AC и AB выраженные через BC, требуется доказать что
sinB - sinC = 2*sinA*cosC  
(sinB-sinC)/(2*sinA) = cosC
Подставляя углы 
(sin(360-3C)-sinC)/(2*sin(2C-180)) =  -4*sinC*cos^2(C)/(-2*sin(2C)) =  
 2*sinC*cosC*cosC/(2*cosC*sinC) = cosC  чтд.