Пусть: AM = a, MN = b, угол BAM = α, MBN = β.
Тогда очевидно: угол ABM = α, ABC = 2α+β = 3/5π (угол правильного пятиугольника)
Из ΔABM угол AMB = π - 2α
из ΔBMN (тоже равнобедренного) угол при основании BMN = (π-β)/2
При этом углы AMB и BMN смежные и равны π.
Итого:
2α+β = 3/5π
π - 2α + (π-β)/2 = π
Из этих двух равенств β = π/5, а если потом подставить в первое, то и α = π/5.
По теореме Косинусов из ΔBMN
b² = a² + a² - 2 a · a · cos β
b² = 2 a² (1- cos β)
Делим все на b²
1 = 2 a² / b² · (1- cos β)
1/ 2 / ( 1- cos β) = a² / b²
ну и отношение a/b = 1/ √ ( 2 · ( 1- cos π/5) )
1) Периметр параллелограмма находится по формуле P = 2(a+b).
Так как стороны относятся друг к другу как 3:1, то первая сторона будет 3х, а вторая х.
32 = 2(3х+х)
32 = 2*4х
32 = 8х
х = 32/8 = 4
Наибольшая из сторон равна 3х => 3*4 = 12см.
Ответ: Б
2) В параллелограмме противоположные углы равны, значит угол А = углу С, а угол В = углу D.
Сумма всех углов в параллелограмме равна 360 градусов =>
D = 360 - 237 = 123 градуса.
угол В = углу D = 123 градуса
Ответ: Б
3) Угол ABD = 52 градусам, а угол ADB = 26 градусам. Так как противоположные стороны в параллелограмме параллельны, а диалгональ BD - секущая => углы DBC и ADB накрест лежащие и равны друг другу.
угол B = угол ABD + угол DBC = 52+26 = 78
Ответ: Г
4) Сторона AD = 8+4 = 12см.
Т.к. противолежащие стороны параллелограмма параллельны, то угол MCB и угол AMB накрест лежащие => равны.
В треугольнике BAM углы AMB и ABM равны => треугольник равнобедренный, значит AM = AB = 8см.
По формуле P = 2(a+b) = 2(8+12) = 2* 20 = 40 см.
Ответ: А
Трапеция АВСД, АД=48, ВС=14, радиус = 25, О - центр описанной окружности
Проводим радиусы ОА и ОД, треугольник ОАД - равнобедренный ОА=ОД =25
проводим высоту ОН на АД, она =медиане и биссектрисе.АН=НД=48/2=24
Треугольник АНО, ОН= корень(ОА в квадрате - АН в квадрате) = корень(625-576) =7
Проводим радиусы ОВ = ОС =25
Треугольник ВОС равнобедренный, проводим высоту ОМ = медиане, биссектрисе,
ВМ=МС=ВС/2=14/2=7
треугольник ВОМ, ОМ= корень ( ОВ в квадрате -ВМ в квадрате) = корень (625-49)=24
МН - высота трапеции = ОМ - ОН = 24 - 7=17
Делаем систему уравнений
2a+b=36
b=1,6a
Теперь заменяем в первом уравнении значение b значением 1,6а
2a+1,6a=36
3,6а=36
а=36:3,6
а=10
Это боковая сторона, вторая боковая - тоже 10, так как треугольник равнобедренный. Теперь находим основание.
36-10-10=16
