<h2>Площадь фигуры по координатам вершин</h2>
Если известны координаты всех вершин, то площадь заданной геометрической фигуры (треугольника, прямоугольника, трапеции, ромба и т.д) можно найти по стандартным формулам. Но предварительно нужно найти длину сторон, диагоналей и т.п. (всё зависит от фигуры) с помощью формулы нахождения длины отрезка по заданным координатам.
Эта формула выглядит следующим образом:
Здесь:
AB - отрезок,
точка A имеет координаты (x1, y1),
точка B имеет координаты (x2, y2).
<hr />
Рассмотрим несколько примеров.
1) Треугольник ABC имеет координаты A(2,3); B(6,7); C(5,0). Его площадь можно найти по формуле Герона:
Здесь:
S - площадь треугольника,
a, b, c - стороны,
p - полупериметр, который равен половине суммы сторон a, b и c.
Найдём, чему равны стороны треугольника по формуле нахождения длины отрезка по координатам:
AB = √(4² + 4²) = √32 ≈ 5,66.
AC = √(3² + (-3)²) = √18 ≈ 4,24.
BC = √((-1)² + (-7)²) = √50 ≈ 7,07.
Полупериметр треугольника будет равен (5,66 + 4,24 + 7,07) / 2 ≈ 16,97 / 2 ≈ 8,49.
Отсюда площадь треугольника ABC ≈ √(8,49 * 2,83 * 4,25 * 1,42) ≈ √145 ≈ 12,04.
2) Ромб ABCD имеет координаты A(1,2); B(3,4); C(5,2); D(3,0). Площадь можно найти через диагонали:
Здесь:
S - площадь ромба,
d1 и d2 - диагонали.
Таким образом, нам нужно найти диагонали AC и BD.
AC = √(4² + 0) = √16 = 4.
BD = √(0 + (-4)²) = √16 = 4.
Отсюда площадь ромба ABCD = 0,5 * 4 * 4 = 8.
3) Трапеция ABCD имеет координаты A(1,1); B(3,4); C(5,4); D(6,1). Стандартная формула площади трапеции такая:
Здесь:
S - площадь трапеции,
a и b - основания,
h - высота.
Высота трапеции (пусть это будет BE) - это перпендикуляр, который был опущен из вершины трапеции (из точки B) на её основание (в нашем случае это AD).
Определим координаты её отрезка:
- координаты первой точки совпадают с точкой B, это (3,4).
- координаты 2 точки (точка E) будут (3,1) - так как абсцисса совпадает с абсциссой точки B, а ордината совпадает с ординатой точек A и D.
Высота трапеции BE = √(0 + (-3)²) = √9 = 3.
Теперь посчитаем длину оснований:
BC = √(2² + 0) = √4 = 2.
AD = √(5² + 0) = √25 = 5.
Таким образом, площадь трапеции ABCD = 3 * 0,5 * (2 + 5) = 10,5.