<span><em>В треугольнике ВЕС проведены биссектриса ВК и отрезок СМ ( М ∈ ВЕ), причем МК||ВС, ЕМ=ЕК. <u>Докажите, что СМ - биссектрис</u>а треугольника ВЕС. </em></span> <span>В треугольнике МЕК стороны ЕМ=ЕК, следовательно, треугольник равнобедренный и углы при его основании МК равны. </span><span>КМ||ВС, ЕВ и ЕС секущие при одних и тех же параллельных прямых, ⇒ углы при основаниях треугольников МЕК и ВЕС равны как соответственные. ⇒ треугольник ВЕС равнобедренный, а <u>четырехугольник ВМКС - равнобедренная трапеция.</u> </span><span>∠ МВК=∠ КВС ( ВК- биссектриса). </span><span>∠ МКВ=углу КВС - накрестлежащие. </span><span>Треугольник МАК - равнобедренный. ∠ КМС=∠ МСВ как накрестлежащие. Но ∠ МСВ - половина ∠ ЕСВ, т.к. равен углу МКВ, половине равного ему угла ЕВС. Следовательно, </span><span>∠ МСВ= ∠ МСК и СМ - биссектриса, ч.т.д. </span>----- <span><em>В треугольнике АВС сторона АВ равна 16, отрезки АК и ВМ являются высотами треугольника. Угол С равен 105°. <u>Найдите площадь треугольника МРК</u>, если Р - середина стороны АВ</em>. </span> Треугольники АМВ и АКВ - прямоугольные по построению. <span>В⊿ АВМ отрезок МР - медиана к гипотенузе АВ. </span><span>В ⊿ АКВ отрезок КР - медиана к гипотенузе АВ. </span><em>Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна её половине</em>. РК=РМ=АВ:2=R=8 <span>Угол С=105° и является внешним для треугольника ВМС. </span><em>Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним</em>. <span>Т.к. угол ВМС=90°, угол СВМ=105°- 90°=15° </span>Опишем вокруг четырехугольника АВКР окружность радиуса R=РК=РМ <span>Вписанный ∠ КВМ опирается на хорду КМ, ⇒ центральный ∠ КРМ, опирающийся на ту же хорду, вдвое больше ∠ КВМ, </span><span>∠ КРМ=15°*2=30° </span><em>Площадь треугольника равна половине произведения его сторон, умноженной на синус угла между ними. </em><span>S ∆ КВМ= 0,5*РК*РМ*sin (30°)</span><span>S ∆ <span>KBM=0,5*64*0,5=16 (ед. площади)</span></span>