Question

Треугольник со сторонами 13,14 и 15 см вращается вокруг прямой , параллельной меньшей стороне и удаленной от нее на 16 см. Найдите площадь поверхности полученного тела , если вершина , противнолежащая меньшей стороне, лежит между осью вращения и прямой, содержащий эту сторону

Answer 1

Тело вращения представляет из себя цилиндр с высотой, равной меньшей стороне треугольника 13 см и радиусом оснований 16 см, из которого "вырезаны" усеченные конусы с равными радиусами и образующими 14 см и 15 см.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Искомая площадь - сумма боковых поверхностей этих усеченных конусов S1+S2 и боковой поверхности цилиндра S3.

а) Для решения нужно найти радиус меньшей окружности, которая образуется при вращении вершины треугольника, противолежащей меньшей стороне. 

Найдем высоту треугольника, проведенную к меньшей стороне, из его площади. Площадь треугольника со сторонами 13,14,15  встречается часто и равна 84 ( проверьте по ф.Герона)

Высота равна 168:13=$12 \frac{12}{13}$ см

Радиус меньшей окружности равен R-h

$r=16-12 \frac{12}{13} =3 \frac{1}{13}$ ≈3,0769 см

Формула боковой поверхности усеченного конуса 

Ѕ=πRL•(R+r)⇒

S1=π•14•(16+3,0769)=267,0766π см²

S2=π•15•(16+3,0769)=286,1535π см²

По формуле боковой поверхности цилиндра 

S3=2πr•13=32•π•13=416π см²

S=969,2301π  см² или ≈ 3044,926 см²