Первый признак равенства треугольников
(по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников
(по стороне и двум прилежащим к ней углам)
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников
(по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Кроме трех общих случаев, существуют еще четыре признака равенства прямоугольных треугольников.
1. В равнобедренной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон и боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90° (свойства). Тогда По теореме Пифагора в треугольнике АВО:
ОВ=9, АО=12, АВ=15. Высота из прямого угла на гипотенузу АВ - это радиус вписанной окружности и по свойству высоты:
r= ОА*ОВ/АВ = 12*9/15 = 7,2см.
Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности
h = 2r = 14.4 см. Тогда площадь трапеции:
S=(ВС+АD) * h/2 = (АВ+СD) *h/2 = (15+15) *14,4/2 = 216см².
Ответ: 216.
2. Пусть АВСD - данная прямоугольная трапеция c прямым углом А. Опустим высоту СН из тупого угла С.Тогда сторона CD по Пифагору равна √(6²+8²) = 10см.
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°. Значит треугольник OCD - прямоугольный. Тогда по Пифагору CD=√(6²+8²)=10см.
Радиус вписанной окружности - высота ОР из прямого угла и по ее свойствам равен r= ОС*ОD/CD=6*8/10=4,8см.
Тогда высота трапеции равна 2*r=9,6см.
В треугольнике НСD катет НD=√(10²-9,6²)=2,8см.
Высота ОР делит гипотенузу СD на отрезки СР и РD, причем
ОС²=СР*CD (свойство). Отсюда СР=36/10=3,6см, а PD=6,4см.
В нашей трапеции основание ВС=СN+r = 4,8+3,6=8,4см (так как касательные из одной точки С к окружности равны).
Площадь трапеции равна сумме площадей прямоугольника АВСН и треугольника CHD: 8,4*9,6+(1/2)*9,6*2,8 = 80,64+13,44=94,08см².
Ответ: S=94,08см².
3. Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности: r=(a+b-c)/2 = 2. => a+b=14. b=a-14.
По Пифагору: a²+(14-а)²=100 => a²-14a+96=0. =>
a1=6, a2=8. Соответственно b1=8, b2=6.
S=(1/2)*6*8=24см².
4. По теореме косинусов для треугольников АОС и ВОС:
R²=16²+8²-2*16*8*Cosα (1)
R²=12²+8²-2*12*8*Cos(180-α). Cos(180-α) = -Cosα.
R²=12²+8²+2*12*8*Cosα. (2). Приравняем (1) и (2):
320-256*Cosα=208+192*Cosα => Cosα=0,25.
Из(1): R²=320-64=256.
Ответ: R=16см.
5. Касательные из одной точки к окружности равны, радиусы перпендикулярны касательным в точке касания.
Поэтому прямоугольные треугольники АВО и СВО равны и угол АВО=30°.
Тогда АО=20см и АВ=10√3см.
Периметр Pabco=2*10+2*10√3=20(1+√3)см.
Прикрепляю.................................
Площадь ромба вычисляется по формуле половина произведения диагоналей. Пусть одна диагональ 5x, другая 4x. x это одна часть. тогда 5х*4х/2=40, то есть
10*x^2=40, откуда x=2. следовательно одна диагональ 20, другая 16.
Ответ. 16м и 20см
