Question

В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса угла, равного 60 градусам. Найдите длину указанной биссектрисы, если она меньше большего катета на 3 см.
ДАЮ 34 бала.

Answer 1

Обозначаем длина меньшего  катета  треугольника через  a ,
гипотенуза будет 2a  (катет против угла 30 равен половине гипотенузы),
а большой катет а√3  ; биссектриса  L =a√3 -3см .
Отрезки на большой катете пусть x и y  считая со стороны прямого угла.
x/y =a/2a (свойство биссектрисы);
{ x/y =1.2; x+y=a√3.
x = a/√3.
y  = 2a/√3 ;
*******************
L =a√3 -3 >0 ⇔a > √3 .
(a√3 -3)² =a² +(a/√3)²  (теорема Пифагора); 
3a² -6a√3 +9 =a² +a²/3;
5a² -18√3*a +27 =0 ;
D/4 =(9√3)² -5*27 =81*3-5*27 =243 -135=108 =36*3 =(6√3)² .
a₁ = (9√3 +6√3)/5 =15√3 :5 =3√3.    
a₂ = (9√3 - 6√3)/5 =3√3 :5 = (3/5*√3) <√3  не решение  .

L=a√3 -3 =3√3*√3 -3 =9 -3 =6 (см) .

ответ  :  6 см .