Question

В конус вписана полусфера, большой круг которой лежит на основании конуса. Известно, что радиус полусферы составляет 4/5 радиуса основания конуса. Тогда отношение поверхности полусферы к боковой

Answer 1

Пусть радиусы - r(радиус полусферы) и R(радиус основания), тогда r/R = 4/5 Площадь полусферы: S1 = 3 Pi r^2 = 48/25 Pi R^2
Боковая площадь поверхности круглого конуса равна произведению половины окружности основания (C) на образующую (L): S2 = 1/2 C L, C = 2 Pi R,
Выразим L через R. Если рассмотреть сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса, то получится равнобедренный треугольник со сторонами L, L и 2R. Если в этом треугольнике провести отрезок, из середины основания в точку касания (это радиус r), то он будет перпендикулярен боковой стороне (как радиус, проведенный в точку касания). Этот радиус r отсекает от прямоугольного треугольника (образованного медианой, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, радиусом R и образующей L) меньший прямоугольный треугольник со сторонами R, r, x (x - обозначение для одного из катетов меньшего треугольника).
Меньший треугольник подобен большому, значит: x/R = R/L, L = R^2/x = R^2/(корень из (R^2 - r^2)) = R^2/(корень из (R^2 - 16/25 R^2)) = R^2/(3/5 R) = 5R/3 Тогда S2 = 1/2 C L = Pi R 5R/3 = 5 Pi R^2 /3 S1/S2 = (48/25 Pi R^2)/(5 Pi R^2 /3) = 144/125