Question

Отрезок AD - биссектриса треугольника ABC. из точки D проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке Е так, что АЕ=ED. доказать что прямая DE параллельна стороне AC

Answer 1

Δ $ABC$ -  произвольный
$AD-$ биссектриса
$AD$ ∩ $BC=D$
$DE$ ∩ $AB=E$
$AE=ED$
доказать, что $DE$ ║ $AC$

Δ $AED:$
$AE=ED$ (по условию) ⇒ Δ $AED-$ равнобедренный
$\ \textless \ EAD=\ \textless \ DEA$
$AD-$ биссектриса
$\ \textless \ EAD=\ \textless \ DAC$
тогда
$\ \textless \ DAC=\ \textless \ EAD$ и $\ \textless \ EAD=\ \textless \ EDA$ ⇒ $\ \textless \ EDA=\ \textless \ DAC$
По признаку параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов: 
Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
$\ \textless \ EDA=\ \textless \ DAC$ - накрест лежащие углы при прямых  AC и ED и секущей AD
Следовательно, $ED$ ║ $AC$
                             ч.т.д.

Answer 2

В ∆ АЕD стороны AE=ED, следовательно, он равнобедренный. 

По свойству углов при основании равнобедренного треугольника 

∠DAE=∠ADE.

Но ∠EАD=∠CAD , т.к.  AD- биссектриса.  

⇒ ∠АDE=∠DAC. Эти углы – накрестлежащие при пересечении АС и DE секущей AD. 

Равенство накрестлежащих углов при пересечении двух прямых секущей - признак параллельности этих прямых. 

DE||АС, что и требовалось доказать.