Question

Основанием призмы ABCA1B1C1 является равносторонний треугольник. Вершина A1 проектируется в центр этого основания, ребро AA1 составляет с плоскостью основания угол "фи" найдите объём призмы, если её высота h.

Answer 1

Пусть точка H-проекция точки AA1 на основание, A1H=h-высота призмы, угол A1AH равен фи. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Осталось найти площадь основания. AH=h*ctg "фи", c другой стороны, AH это 2/3 от высоты основания. Пусть высота основания(треугольника ABC) AD, она равна a*sqrt3/2, где a-cторона основания. Тогда AH=a*sqrt3/3=h*ctg "фи". a=sqrt3*h*ctg "фи".
Площадь равностороннего треугольника равна a*a*sqrt3/4=3ctg^2 "фи"*h^2*sqrt3/4.
Объём равен 3sqrt3/4*ctg^2 "фи"*h^3.
Если словами, то получился объём "3 корня из 3 умножить на котангенс в квадрате фи умножить на h в кубе делить на 4.