Т.к. ∠A+∠B+∠C=180° и ∠B<90°, то ∠A+∠C>90°
Допустим, BM<0.5AC, т.е. ВМ<АМ и ВМ<СМ.
тогда по теореме (напротив большей стороны лежит больший угол)
∠BAM<∠ABM и ∠BCM<∠CBM, сложим,
∠BAM+∠BCM<∠ABM+∠CBM, т.е.
в треугольнике АВС ∠B>∠A+∠C, т.е. ∠B>90°, что противоречит условию, следовательно, ВМ>0.5AC.
![BM= \frac{1}{2} \sqrt{BA^{2}+BC^{2}+2AB*BC*cosABC} ,\\ cosABC=\frac{4BM^{2}-BA^{2}-BC^{2}}{2AB*BC}= \frac{400-225-49}{2*15*7} =0.6 \\ sinABC= \sqrt{1-cos^{2}ABC} = \sqrt{1-0.36} =\sqrt{0.64}=0.8](https://tex.z-dn.net/?f=BM%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D++%5Csqrt%7BBA%5E%7B2%7D%2BBC%5E%7B2%7D%2B2AB%2ABC%2AcosABC%7D+%2C%5C%5C%0AcosABC%3D%5Cfrac%7B4BM%5E%7B2%7D-BA%5E%7B2%7D-BC%5E%7B2%7D%7D%7B2AB%2ABC%7D%3D+%5Cfrac%7B400-225-49%7D%7B2%2A15%2A7%7D+%3D0.6+%5C%5C+%0AsinABC%3D+%5Csqrt%7B1-cos%5E%7B2%7DABC%7D+%3D+%5Csqrt%7B1-0.36%7D+%3D%5Csqrt%7B0.64%7D%3D0.8)