В зависимости от того, в каком контексте употребляется слово, оно может быть либо наречием,
либо просто предложно-падежным сочетанием.
1) Сейчас, когда стоят очень жаркие денечки, на нашем чудесном озере каждый день народу помногу бывает.
ПО СКОЛЬКУ? -- помногу. Это наречие. Оно образовано путем слияния формы прилагательного многая в дательном падеже с предлогом по: по + многу/ю = помногу. Прилагательное с усеченным окончанием не употребляется сейчас в нашей речи, но при слиянии его с предлогом образуется уже новое слово, наречие, и оно довольно употребительно.
Согласно правилу наречия, образованные от полной формы прилагательных с усеченным окончанием, пишутся слитно (в одно слово).
Предлог при этом переходит в приставку, становится неотъемлемой частью слова.
Подобным образом образованы и другие наречия, например, понемногу, помаленьку, поровну, попусту, потихоньку, попросту.
Они и пишутся так же, одним словом.
2) Мой племянник -- моряк, он часто уходит в походы, поэтому мы не видим его дома по многу месяцев.
Здесь по многу -- сочетание имени существительного с предлогом, пишется раздельно.
Отличить его от наречия помогает наличие управляемого слова ("месяцев") после этого сочетания.