С большой в русском языке пишутся имена собственные. В данном случае следует разобраться является ли словосочетание "неизвестного солдата" именем собственным.
Имя собственное - существительное, обозначающее слово или словосочетание, предназначенное для называния конкретного, вполне определённого предмета или явления, выделяющее этот предмет или явление из ряда однотипных предметов или явлений.
А именно:
Имена людей (личное имя, отчество, фамилия, прозвище, псевдоним, криптоним (скрываемое имя)
Имена богов и животных, названия народов
Географические названия
Другие названия (название телепередач, книг и т.п.)
"останки неизвестного солдата" не является именем собственным, по определению, следовательно пишем с маленьких букв
Что касается второго случае, аналогично слово "московских" не имя собственное, так как не является существительным, пишется с маленькой буквы!
Я не исключаю вариант написания предложения "Гроб с останками Неизвестного Солдата", в случае если бы автор писал собственную книгу, и в дань уважения выделил эти слова, написав их с Заглавной буквы, но в школе учат правилам русского языка, поэтому нужно писать грамотно!