Чтобы дать ответ на поставленный вопрос, нужно разобраться, что представляет из себя слово, правописание которого вызывает сомнение.
Итак, Бож*ий дар - дар какой? или еще можно спросить чей?. Данное слово обозначает признак, следовательно, является именем прилагательным. Поскольку оно также отвечает на вопрос чей? ( вопрос о принадлежности человеку или животному ), то его можно отнести к разряду притяжательных прилагательных.
Это один из тех случаев, когда в форме единственного числа мужского рода мягкий знак появляется только в косвенных падежах ( если главное слово - одушевленное существительное, то и в Винительном падеже ):
Именительный падеж Божий дар,
Винительный падеж Божий дар,
Родительный Божьего дара,
Дательный Божьему дару,
Творительный Божьим даром,
Предложный о Божьем даре.
Зато в форме единственного числа среднего и женского рода и в форме множественного числа он есть во всех падежах: Божья воля, Божье царство, Божью волю, Божьем царством и т.д.
Правильный вариант написания Божий дар.