Только, наверное, не определение последовательности, а определение предела последовательности.
Число А - предел последовательности y = x(n), если для любого e > 0 существует такое N, что при любом n > N выполнено:
|x(n) - A| < e
У тебя последовательность y = (n+1)/(1-2n) = (n+1)/(-2n+1)
Идем строго по определению. Пусть у нас есть какое-то маленькое положительное число e > 0.
Нам надо доказать, что А = -1/2 - предел этой последовательности.
Для этого надо найти N - наименьший номер последовательности, такой, что для всех номеров n > N выполнено:
|x(n) - A| < e
А для всех номеров n <= N выполнено:
|x(n) - A| >= e
То есть нам надо решить систему неравенств:
{ |x(n-1) - A| >= e
{ |x(n) - A| < e
Подставляем нашу формулу:
{ n/(-2(n-1)+1) >= e
{ (n+1)/(-2n+1) < e
Упростим 1 неравенство
{ n/(-2n+3) >= e
{ (n+1)/(-2n+1) < e
Делим в обоих неравенствах знаменатель на -2, то есть по сути умножаем оба неравенства на -2. При этом меняется знак.
{ n/(n-3/2) <= -2e
{ (n+1)/(n-1/2) > -2e
Выделяем целую часть в обоих неравенствах
{ 1 + 1,5/(n-1,5) <= -2e
{ 1 + 1,5/(n-0,5) > -2e
Разделим оба неравенства обратно на -2. При этом снова меняется знак.
{ -2 - 0,75/(n-1,5) >= e
{ -2 - 0,75/(n-0,5) < e
Оставляем с одной стороны дробь, а с другой все остальное.
{ -0,75/(n-1,5) >= 2 + e
{ -0,75/(n-0,5) < 2 + e
Переворачиваем дроби, при этом знаки опять меняются.
{ (n-1,5)/(-0,75) <= 1/(2+e)
{ (n-0,5)/(-0,75) > 1/(2+e)
Упрощаем, домножая на -0,75, при этом знаки снова меняются.
{ n-1,5 >= -0,75/(2+e)
{ n-0,5 < -0,75/(2+e)
Выражаем n через е.
{ n >= 1,5 - 0,75/(2+e)
{ n < 0,5 - 0,75/(2+e)
В примере e = 10^(-2) = 0,01.
{ n >= 1,5 - 0,75/2,01 ~ 1,12
{ n < 0,5 - 0,75/2,01 ~ 0,12
То есть точность в 0,01 обеспечивается уже с n = 1. Чувствую я, что где-то ошибся, а найти не могу. Может, кто подскажет?
