Если говорить простыми словами, то возведение числа в степень - это операция, при которой число многократно умножается само на себя.
Здесь число a - это основание степени, а число n - это показатель степени.
<hr />
Умножение степеней.
При умножении степеней их основания могут совпадать, а могут различаться.
_
Сначала рассмотрим, как умножать степени с одинаковыми основаниями.
Для этого нужно сложить показатели степеней, а основания оставить без изменений.
Здесь a - основание степеней, а n и m - показатели.
Например:
6² * 6³ = 6^5 = 7776.
Проверить эту формулу очень легко - достаточно возвести в степень каждый множитель, а затем перемножить полученные числа.
6² * 6³ = (6*6) * (6*6*6) = 36 * 216 = 7776.
_
Теперь об умножении степеней с разными основаниями.
Здесь возможны 3 варианта:
1) Основания степеней различаются, но показатели совпадают.
В этом случае нужно перемножить основания и возвести их в указанную степень.
Например:
5³ * 6³ = (5 * 6)³ = 30³ = 27000.
2) Основания и показатели различаются, но имеется возможность привести степени к одному основанию.
Например:
9² * 81².
Здесь 81 можно представить в виде 9².
Поэтому 81² = (9²)² = 9^4 (при возведении степени в степень показатели перемножаются).
В итогу получим, что 9² * 81² = 9^2 * 9^4 = 9^6 = 531441.
3) Основания и показатели различаются, но можно привести данные степени к одному показателю.
Например:
5² * 8^4.
8^4 можно представить как 8² * 8².
Поэтому:
5² * 8^4 = 5² * 8² * 8² = (5*8*8)² = 320² = 102400.
4) Основания и показатели различаются, возможность приведения степеней к одному основанию и показателю отсутствует.
Например:
3² * 7³.
Основания и показатели в этом случае являются простыми числами. Поэтому здесь единственный вариант - возводить в степень каждый множитель отдельно, а затем перемножать результаты.
3² * 7³ = 9 * 343 = 3087.
<hr />
Деление степеней.
Здесь всё по аналогии с умножением - основания степеней бывают одинаковыми, а бывают разными.
_
Если вы выполняете деление степеней с одинаковыми основаниями, то нужно делать следующее:
Основания оставить без изменений, а показатели степеней отнять друг от друга.
Например:
7³ : 7² = 7^1 = 7.
Проверка выполняется описанным выше способом:
7³ : 7² = 343 : 49 = 7.
_
Что касается деления степеней с разными основаниями, то здесь все принципы будут аналогичны умножению.
Если основания и показатели степеней - простые числа, то нужно отдельно возводить в степень делимое и делитель.
В ином случае степени можно привести либо к одному основанию, либо к одному показателю.
Вот несколько примеров:
4² : 2^4 = 4² : (2²)² = 4² : 4² = 1.
10³ : 5³ = (10 : 5)³ = 2³ = 8.
9³ : 2^6 = 9³ : (2³ * 2³) = 4,5³ : 2³ = 2,25³ = 11,390625.
