Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке: y=x^3+3x^2-72x+90 на отрезке [ -5;5 ]

Answer 1

Производная функции:
$y'=(x^3+3x^2-72x+90)'=3x^2+6x-72$
Приравняем производную функции к нулю
$3x^2+6x-72=0\\ 3(x^2+2x-24)=0\\ x^2+2x-24=0\\ x^2+2x+1-25=0\\ (x+1)^2-25=0\\ \left[\begin{array}{ccc}x+1=5\\ x+1=-5\end{array}\right\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}x_1=4\\ x_2=-6\end{array}\right$
Корень $x=-6$ не удовлетворяет заданному отрезку.
Найдем значение функции в концах отрезка.
$y(-5)=(-5)^3+3\cdot(-5)^2-72\cdot(-5)+90=400\,\,\,\,\, -\max \\ y(5)=5^3+3\cdot 5^2-72\cdot5+90=-70\\ y(4)=4^3+3\cdot 4^2-72\cdot 4+90=-86\,\,\,\, -\min$