Question

Как доказать, что периметр треугольника больше периметра квадрата?

Площади равностороннего треугольника и квадрата равны. Докажите, что периметр треугольника больше периметра квадрата.

Answer 1

На мой взгляд можно бесконечно делать выводы, выдвигать версии, крайне убедительно доказывать что-либо на словах. Ни ничто так не подтверждает результат, как конкретные цифры. Поскольку я считаю себя практиком, то мне экспериментальные методы наиболее симпатичны. Позвольте и в этой математической ситуации воспользоваться конкретными значениями. Например, если автор вопроса говорит о равных площадях равностороннего треугольника и квадрата, то пусть она будет равна 36 квадратным сантиметрам.

Если у нас нет готовой формулы для вычисления периметров, то потребуется осуществить промежуточные вычисления, с помощью которых найти стороны треугольника и квадрата. И проще всего разобраться с последним. Ведь, если площадь квадрата равна длине его стороны, возведённой во вторую степень (в квадрат), то не сложно произвести и обратное вычисление:

Конечно, я специально подобрал такое число, чтобы хотя бы в одном случае можно было произвести расчёты в уме. Ведь вы же тоже знаете, что шестью шесть будет тридцать шесть? Соответственно, квадратный корень из этого числа равен шести. И теперь нам остаётся лишь выяснить, чему равен периметр нашего квадрата, а он равен сумме длин четырёх сторон:

Полдела сделано и мы можем двигаться дальше. А следующим шагом надо бы определиться с длиной стороны треугольника. Равностороннего (равноугольного или правильного) треугольника! А таковой обладает целым рядом свойств, которые описаны в учебниках. Например:

И мне видится, что полезной может оказаться формула в нижнем ряду - самая первая слева, где площадь выражена через сторону треугольника. Если есть такая, можно вывести и обратную связь между значениями. Так я вижу, что сторона правильного треугольника будет равна квадратному корню из четырёх площадей, поделённых на квадратный корень из трёх.

И не смотря на то, что у треугольника всего три стороны, сумма их длин окажется больше, чем периметр квадрата той же площади:

Как видите, разница составляет почти 14 процентов - при равных площадях равностороннего треугольника и квадрата периметр первого будет явно больше периметра второго.

Answer 2

Общеизвестно, что периметр любого прямоугольника всегда больше периметра квадрата той же площади. При этом, чем больше удлинение прямоугольника, чем больше он "худеет", тем стремительнее растет длина периметра при сохранении площади.

Как известно, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Или, иначе, площади прямоугольника со сторонами равными половине основания и высоте. Периметр такого условного прямоугольника (при равенстве площадей с квадратом) будет больше периметра квадрата. А периметр треугольника, одна из сторон которого равна сумме двух коротких сторон прямоугольника, а две другие стороны являются диагоналями прямоугольника и следовательно, их длина превышает длину любой стороны прямоугольника, периметр такого треугольника будет еще больше.

Ответ: периметр треугольника больше периметра квадрата - смотри доказательство выше.

Answer 3

Пусть S - известная площадь равностороннего треугольника и квадрата. Тогда

S^0,5 - сторона квадрата и

4(S^0,5) - периметр квадрата.

И пусть а - сторона равностороннего треугольника, тогда

S = (a^2)*(3^0,5)/4, откуда

а = (4S/(3^0,5)^0,5 = 2(S^0,5)/3^0,25) и

3а = 6(S^0,5)/3^0,25) - периметр равностороннего треугольника.

Делим периметр квадрата на периметр треугольника

(4(S^0,5))/(6(S^0,5)­<wbr />/3^0,25)) = 2(3^0,25)/3 = 0,87738... < 1.

Значит, периметр квадрата меньше периметра равностороннего треугольника с той же площадью примерно на 12 %.

Answer 4

Как известно, самая оптимальна геометрическая фигура, которая способна своим минимальным периметром охватить самую большую площадь - это окружность. А потому, чем более иная равносторонняя фигура приближается по своей форме к окружности, тем существеннее она будет иметь это преимущество. Квадрат оптимальнее вписывается в окружность, нежели равносторонний треугольник, потому, при равной площади периметр треугольника будет длиннее периметра квадрата.

Answer 5

В самом начале хочу отметить что

Это нонсенс. Такого не может быть.

Но раз есть задание, будем решать

Примем допущение что сторона квадрата а=1, так проще.

Тогда S■=а^2=1; S▲=1/2b*h или (√3*b^2)/4; согласно условию (√3*b^2)/4=1; тогда b^2=4√3/3; b=√(4√3/3)=1,5196713­<wbr />71303185

Имея а=1 получим P■=4 и b=1,519671371303185 P▲=4,5… значит P▲>P■

Как то так.