Исходя из того, что треугольник равнобедренный, третья сторона треугольника или 2см или 7 см. 2см она быть не может, так как 2+2=4см, а сумма двух сторон не может быть меньше длины третьей, значит третья сторона 7см, соответственно периметр 2+7+7=16см.
Треугольник находится внутри прямоугольника со сторонами 6 см на 5 см
площадь прямоугольника равна 6*5=30 см² и равна площади заданного треугольника плюс площадь 3-х прямоугольных треугольников у которых гипотенуза - сторона заданного треугольника, а стороны - стороны охватывающего прямоугольника.
Эти площади не входят в указанный треугольник и их надо вычесть
катеты этих треугольников равны
2 на 5 площадь = 2*5/2=5 см²
6 на 1 площадь = 6*1/2=3 см²
4 на 4 площадь = 4*4/2=8 см²
Площадь искомого треугольника равна
30-(5+3+8)=14 см²
У меня получился другой результат.
Обозначим угол между стороной а и основанием как х.
Площадь треугольника равна а*cos(x)*a*sin(x). Найдем на интервале от (0, п/2) максимум функции cos(x)*sin(x) = sin(2x)/2. Этот максимум достигается при 2х=п/2, т.е. при х=п/4=45 градусов. Третий угол такого треугольника - прямой, а основание равно а*sqrt(2).
Площадь правильного треугольника будет равна а*a*(squrt(2)/2)*(sq<wbr />urt(2)/2)=a*a*(2/4)=a<wbr />*a/2.
Площадь правильного треугольника со стороной а равна
a*a*sqrt(3)/2*(1/2)=<wbr />a*a*sqrt(3)/4, что примерно а*а*0.433 и меньше площади треугольника с углами 90, 45 и 45 градусов.
Для олимпиады это несложная задача. Раз уж треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90°. Пусть а – длина одного из катетов. Это известная величина. Обозначим через х неизвестную длину второго катета и у – длина гипотенузы (тоже неизвестная величина). Длина второго известного отрезка d равна сумме длин второго катета и гипотенузы d = х + у. Отсюда выразим длину гипотенузы через длину второго катета и известной величины d:
у = d – х (1)
Еще раз повторю, что величины d и а мы знаем. Неизвестны х и у. То есть в уравнении (1) две неизвестные величины. Надо еще одно уравнение, чтобы найти 2 неизвестные величины. Так как треугольник прямоугольный, то используем теорему Пифагора, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть, а² + х² = у² или
у² - х² = а² (2)
Итак, получили 2 уравнения (1) и (2) с двумя неизвестными х и у. Из уравнения (1) величину у подставим в уравнение (2). Имеем (d – х)² - х² = а². Вычисляем d² - 2dх + х² - х² = а². То есть d² - 2dх = а². Отсюда находим неизвестную величину х = (d² - а²)/2 d. Подставляем это выражение в уравнение (1) и находим у = d – х = d - (d² - а²)/2 d. Итак, мы вычислили величину второго катета и гипотенузы через известные величины
х = (d² - а²)/2d (3)
у = d – х = d - (d² - а²)/2d (4)
Проверим эти формулы. Пусть а = 3 и d = 9. Из формулы (3) находим х = 4 (это длина второго катета) и у = 5 – это длина гипотенузы.
Прямой угол в треугольнике образован двумя сторонами, которые пересекаются под углом в 90 градусов, то есть перпендикулярно. Треугольник с таким углом называется прямоугольным и является частным случаем любого треугольника, очень удобным для проведения различных расчетов. Две стороны, образующие прямой угол в треугольнике называются его катетами, а вот сторона лежащая напротив прямого угла называется гипотенузой. Слово это греческое, да и решать прямоугольные треугольники начали греки, в частности Пифагор со своей теоремой, и означает Натянутая. То есть получается, что гипотенуза натянута между двумя катетами.
