Треугольники подобны
AB=CD
Дано: прямоугольный треугольник ABE, ∠AEB = 90°, AT = 15, TE = 12.
Найти: площадь треугольника ΔABT.
Решение:
(см. также рисунок)
Высота
AE = AT + TE = 15 + 12 = 27 известна. Надо найти основание ЕВ.
Воспользуемся свойством биссектрисы: биссектриса делит
противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам, т.е.:
![\frac{ET}{AT} = \frac{EB}{AB} \\ \\ \frac{EB}{AB} = \frac{12}{15}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BET%7D%7BAT%7D+%3D+%5Cfrac%7BEB%7D%7BAB%7D++%5C%5C++%5C%5C+%5Cfrac%7BEB%7D%7BAB%7D+%3D+%5Cfrac%7B12%7D%7B15%7D+)
![AB = \frac{15}{12} EB](https://tex.z-dn.net/?f=AB+%3D++%5Cfrac%7B15%7D%7B12%7D+EB)
По теореме Пифагора:
![AB^2 = AE^2 + EB^2 = 27^2 + EB^2](https://tex.z-dn.net/?f=AB%5E2+%3D+AE%5E2+%2B+EB%5E2+%3D+27%5E2+%2B+EB%5E2)
![\frac{15^2}{12^2} EB^2 = 27^2 + EB^2 \\ \\ \frac{15^2}{12^2} EB^2 - EB^2 = 27^2 \\ \\ EB^2 (\frac{15^2}{12^2} - 1) = 27^2 \\ \\ EB^2 \frac{15^2 - 12^2}{12^2} = 27^2 \\ \\ EB * \frac{ \sqrt{15^2 - 12^2} }{12} = 27 \\ \\ EB = \frac{27*12}{ \sqrt{(15-12)*(15+12)} } = \frac{27*12}{ \sqrt{3*27} } = \frac{27*12}{9} =36](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B15%5E2%7D%7B12%5E2%7D%0A+EB%5E2+%3D+27%5E2+%2B+EB%5E2+%5C%5C++%5C%5C+%5Cfrac%7B15%5E2%7D%7B12%5E2%7D+EB%5E2+-+EB%5E2+%3D+27%5E2+%5C%5C++%5C%5C+%0AEB%5E2+%28%5Cfrac%7B15%5E2%7D%7B12%5E2%7D+-+1%29+%3D+27%5E2+%5C%5C++%5C%5C+EB%5E2++%5Cfrac%7B15%5E2+-+%0A12%5E2%7D%7B12%5E2%7D+%3D+27%5E2+%5C%5C++%5C%5C+EB+%2A++%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B15%5E2+-+12%5E2%7D+%7D%7B12%7D+%3D+27+%5C%5C+%0A+%5C%5C+EB+%3D++%5Cfrac%7B27%2A12%7D%7B+%5Csqrt%7B%2815-12%29%2A%2815%2B12%29%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B27%2A12%7D%7B+%0A%5Csqrt%7B3%2A27%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B27%2A12%7D%7B9%7D+%3D36+)
Площадь треугольника ΔABE равна:
![S_{\Delta ABE} = \frac{1}{2} *AE * EB = \frac{1}{2} *27 * 36 = 486](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B%5CDelta+ABE%7D+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2AAE+%2A+EB+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2A27+%2A+36+%3D+486)
Площадь треугольника ΔTBE равна:
![S_{\Delta TBE} = \frac{1}{2} *TE * EB = \frac{1}{2} *12 * 36 = 216](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B%5CDelta+TBE%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2ATE+%2A+EB+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2A12+%2A+36+%3D+216)
Площадь треугольника ΔABT равна:
![S_{\Delta ABT} = S_{\Delta ABE} - S_{\Delta TBE} = 486 - 216 = 270](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7B%5CDelta+ABT%7D+%3D+S_%7B%5CDelta+ABE%7D+-+S_%7B%5CDelta+TBE%7D+%3D+486+-+216+%3D+270)
Ответ: 270
В плоскости диагонального сечения куба имеем 2 подобных треугольника BKF и DLF.
Пусть DF = х.
Из задания получаем ВД = а√2, КВ = 4а/5, DL = а/4.
Составим пропорцию: (ВД+х)/х = ВК/DL.
(а√2+х)/х = (4а/5)/(а/4).
(а√2+х)/х = 16/5.
5а√2+5х = 16х.
11х = 5√2а.
х = DF = (5√2а)/11.
ВF = ВD + DF = а√2 + (5√2а)/11 = (16√2а)/11.
1) Треугольник ACB - прямоугольный, угол С=90 градусов (т.к. он опирается на диаметр)
2)Дополнительное построение: CH перпендикулярна AB (высота)
Из п.1 и 2 => AC^2=AH*AB (свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника)
Т.к. AC=AH, заменю и перенесу влево
AC^2-AC-12=0
D=1+48=49
AC=AH=(1+7)/2=4
3) BH=AB-AH
BH=12-4=8
4) CH^2=AH*BH (свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника)
CH^2=4*8
CH=4√2 — расстояние от С до прямой АВ
5) S=1/2*AB*CH
<span>S=12/2*4√2=24√2 — площадь треугольника ABC </span>
Все на рисунке. ...............................