Question

В прямоугольном треугольнике ABE с прямым углом E проведена биссектриса BT , причём AT=15,TE=12.Найдите площадь треугольника ABT

Answer 1

Дано: прямоугольный треугольник ABE, ∠AEB = 90°, AT = 15, TE = 12.
Найти: площадь треугольника ΔABT.

Решение:
(см. также рисунок)
Высота AE = AT + TE = 15 + 12 = 27 известна. Надо найти основание ЕВ.

Воспользуемся свойством биссектрисы: биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам, т.е.:
$\frac{ET}{AT} = \frac{EB}{AB} \\ \\ \frac{EB}{AB} = \frac{12}{15}$
$AB = \frac{15}{12} EB$

По теореме Пифагора:
$AB^2 = AE^2 + EB^2 = 27^2 + EB^2$
$\frac{15^2}{12^2} EB^2 = 27^2 + EB^2 \\ \\ \frac{15^2}{12^2} EB^2 - EB^2 = 27^2 \\ \\ EB^2 (\frac{15^2}{12^2} - 1) = 27^2 \\ \\ EB^2 \frac{15^2 - 12^2}{12^2} = 27^2 \\ \\ EB * \frac{ \sqrt{15^2 - 12^2} }{12} = 27 \\ \\ EB = \frac{27*12}{ \sqrt{(15-12)*(15+12)} } = \frac{27*12}{ \sqrt{3*27} } = \frac{27*12}{9} =36$

Площадь треугольника ΔABE равна:
$S_{\Delta ABE} = \frac{1}{2} *AE * EB = \frac{1}{2} *27 * 36 = 486$

Площадь треугольника ΔTBE равна:
$S_{\Delta TBE} = \frac{1}{2} *TE * EB = \frac{1}{2} *12 * 36 = 216$

Площадь треугольника ΔABT равна:
$S_{\Delta ABT} = S_{\Delta ABE} - S_{\Delta TBE} = 486 - 216 = 270$

Ответ: 270