Question

На стороне BC треугольника ABC взята точка A1 так, что
BA1 : A1C = 2 : 1. В каком отношении медиана CC1 делит отрезок AA1?

Answer 1

В треугольнике АВ1А1 по теореме Менелая:

(ВС1/С1А)*(АР/РА1)*(А1С/СВ) = 1. Подставим известные соотношения: ВС1/С1А = 1/1 (СС1 - медиана), СА1/ВС=1/3 (СА1/А1В=1/2 - дано ). Тогда (1/1)*(АР/РА1)*(3/1) =1  =>  АР/РА1 = 3/1.

Ответ: медиана СС1 делит отрезок АА1 в отношении АР:РА1 = 3:1.

Без применения формулы Менелая.

Проведем С1К параллельно ВС. С1К - средняя линия треугольника АВА1, так как точка С1 делит сторону АВ пополам, а отрезок КС1 параллелен стороне ВС по построению. Треугольники АС1К и АВА1 подобны с коэффициентом k=1/2. АК=КА1. Треугольники РС1К и РСА1 подобны с коэффициентом k=1/1 (то есть равны, так как СК=(1/2)*ВА1). КР=РА1.Тогда АР = 3*РА1. То есть отношение АР/РА1 = 3:1.