Question

Помогите решить интегралы, пожалуйста

Answer 1

$1) \int\limits^e_1 { \frac{dx}{x \sqrt{1+lnx}} } \,= \int\limits^e_1 { \frac{d(1+lnx)}{\sqrt{1+lnx}} } \,= (2 \sqrt{1+lnx})| ^e_1= \\ \\ =2 \sqrt{1+lne}-2 \sqrt{1+ln1}=2 \sqrt{2} -2 \sqrt{1} =2 \sqrt{2}-2$

2) Интегрирование по частям
u=x ⇒  du=dx
dv=eˣ/² dx  ⇒  v=∫eˣ/² dx=2∫eˣ/² d(x/2)=2·eˣ/²
$\int\limits^2_0 {x\cdot e^{\frac{x}{2}} \, dx=2(xe^{\frac{x}{2}} )|^2_0-2 \int\limits^2_0 { e^{\frac{x}{2}} } \, dx =2(xe^{\frac{x}{2}} )|^2_0-4(e^{\frac{x}{2}} )|^2_0 =$
=4e-0-4e+4=4

3) Замена переменной
√(3х+1)-1=t  ⇒ √(3х+1)=t+1 ⇒  3x+1=t^2+2t+1  ⇒ x=(t^2+2t)/3

dx=((2/3)t+(2/3))dt
x=1  t=√(3·1+1)-1=2-1=1
x=5  t=√(3·5+1)-1=√(16)-1=4-1=3
$\int\limits^5_1 { \frac{dx}{ \sqrt{3x+1}-1 } } \,= \frac{2}{3} \int\limits^3_1 { \frac{(t+1)dt}{t} \,= \frac{2}{3} \int\limits^3_1 { \frac{tdt}{t} \,+ \frac{2}{3} \int\limits^3_1 { \frac{dt}{t} = \frac{2}{3} \int\limits^3_1 { dt} \,+ \frac{2}{3} \int\limits^3_1 { \frac{dt}{t} =$

$=\frac{2}{3}(t)|^3_1 + \frac{2}{3}(ln|t|)|^3_1=$

=(2/3)·(3-1)+(2/3)·(ln3-ln1)=(4/3)+(2/3)ln3