Question

У конус вписано правельну трикутну піраміду зі стороною a і об*ємом V . Знайти обє*м конуса.

Answer 1

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний треугольник).
Объем правильной треугольной пирамиды V = 1/3 * Sп * Нп, где Sп - площадь основания пирамиды, Нп - высота пирамиды.
Sп = a² * √3/4, где а - сторона основания пирамиды
V = 1/3 * a² * √3/4 * Hп
Нп=12V / (a²√3)

Высота конуса совпадает с высотой пирамиды, вписанной в него. Основание конуса является окружностью, описанной вокруг основания пирамиды.
Hп = Hк = Н, где Нк - высота конуса

Объем конуса Vк= 1/3 * Sк * H, где Sк - площадь основания конуса
Площадь окружности, описанной вокруг правильного треугольника 
Sк = π* R², где R - радиус основания конуса (радиус окружности, описанной около правильного треугольника)
R = a / √3
                               π*a²
Sк = π * (a/√3)² = ----------
                                 3

Vк = 1/3 * π * a²/3 * 12V/(a²√3)

          1 * π * a² *12V          4 π V
Vк = ----------------------- = ----------- ≈ 2,42 V
          3 * 3 * a² * √3            3√3