Question

Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит высоту, проведённую к основанию, на отрезки 7 и 1. Найдите значение выражения √3*S

Answer 1

Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности лежит на биссектрисе угла при основании.

Из задания вытекает, что радиус равен r = 1.

Примем половину основания за х.

Тангенс половинного угла равен tg(A/2) = 1/x.

Тангенс угла A равен tg(A) = 8/x.

Используем формулу двойного угла:

8/х = (2*(1/х))/(1 - (1/х²)).Сократим на 2 и на х.

4(х² - 1) = х².

3х² = 4.

х = 2/√3 = 2√3/3.

Основание равно 2х = 2*2√3/3 = 4√3/3.

Площадь треугольника равна S = (1/2)2x*8 = 16√3/3.

Ответ: √3*S = 16.