Здесь нужно воспользоваться теоремой косинусов: a²=b²+c²-2ab·cosA.
В нашем случае это:
АВ²=АС²+ВС²-2АС·ВС·сos30°=(5√3)²+4²-2·5√3·4·√3/2=31
AB=√31.
векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0
координаты вектора a+lb=(3+l*(-1); 4+l*2;5+l*0)=(3-l;4+2l;5)
тогда скалярное произведение в координатах
a*(a+lb)=3*(3-l)+4(4+2l)+5*5=0
9-3l+16+8l+25=0
5l=-50
l=-10
У ромба все стороны равны. ∠ABO= 30°. Найдём AO. sin30°=AO/49. 1/2= AO/49. AO= 49/2= 24.5. Следовательно AC =24.5 + 24.5=49 см
радиус вписанной окружности=(2корень из 2)/2=корень из 2
С= 2п*корень из 2
радиус описанной окружности =(2корень из 2)/корень из 2=2
С= 2п*2=4п
Отношение длин =( 2п*корень из 2)/4п=(корень из 2)/2
Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный. ∠АВН=90-45=45°, значит АН=ВН.
Пусть АН=ВН=х. Найдем х по теореме Пифагора.
АН²+ВН²=АВ²; х²+х²=8²; 2х²=64; х²=32; х=√32=4√2.
АН=4√2 см, тогда АС=2АН=(4√2)*2=8√2 см.
Ответ: 8√2 см.