В английском (стандартном) действительно нет мягких звуков. Я понимаю, что вас беспокоит в примере с именем Эндрю, но, если вы обратите внимание на любые иностранные имена или названия, то сможете заметить, что в оригинале многие из них звучат немного иначе, потому обычно невозможно буквами одного языка полностью передать произношение на другом.
Мягкого R в английском Andrew конечно же нет, и гласный звучит там скорее У, нежели Ю. Но дело в том, что английский У в этом случае может отличаться от русского У и звучат несколько ближе к Ю, при этом не смягчая предыдущий согласный. Многое зависит от говора, и для русского уха опять же это имя полностью частно звучит ближе в Эндрю, а не Эндру. Некоторые носители произносят его как /ˈæn.dɹuː/, другие как /ˈæn.dɹjuː/ (то есть как "эндр-jу" - Р твёрдая + Ю). Вообще, честно говоря, сложно сравнивать русский Р (твёрдый или мягкий) с английским R, потому что это принципиально разные звуки.
Если это поможет разобраться, то упомяну, что -ew в Andrew звучит так же, как и в слове NEW, а это слово также имеет множество вариантов произношения, начиная с /ну/, заканчивая /нью/ в зависимости от региона.
Поэтому я бы оставила Эндру и Эндрю как равноправные варианты (и добавила бы Андру и Андрю, т.к. звук /æ/ также не имеет прямой аналогии в русском. Иногда его произносят ближе к Э, иногда ближе к А, чаще всего что-то между), если бы вариант Эндрю уже не закрепился.