Для решения этой задачи разберем взаимоотношения сторон и расстояний до точек касания окружности, вписанной в треугольник. Обойдемся пез чертежа?
Есть треугольник АВС. обозначим стороны, лежащие против соответствующих углов, через а,в,с. Расстояния от соответствующих углов до точек касания вписанной окружности равны (это доказывать не надо?!). Пусть точки касания: на стороне а -> n, на стороне b -> k, на стороне c -> m. Имеем Аm =Ak, Bm=Bn, Cn=Ck. Тогда полупериметр треугольника АВС можно выразить так: (Am+mB+Ba+aC+Ck+kA)/2 = Am+Bn+Ck. То есть полупериметр (р) равен сумме расстояний от каждого угла до одной точки касания.
Перенесем полученные знания на нашу задачу. Расстояние между точками касания окружностей с медианой BE равно тЕ-кЕ (где т и к - точки касания на медиане).
В треугольнике ЕВС Ет = р1-ВС (сторона против угла Е).
В треугольнике АВЕ Ек = р2-АВ (сторона против угла Е).
Ет-Ек искомое расстояние равно р1 - ВС - р2 +АВ.
Но р1 = (ЕВ+ВС+ЕС)/2
р2 = (АВ+ВЕ+АЕ)/2
но АЕ =ЕС, а АВ=ВС+14, то есть р1-р2=7
Ет-Ек = 14-7 = 7.
Извини за сумбурность.
