Question

Дан треугольник ABC. Точка M принадлежит AB. BM:MA=4:1. Точка N принадлежит BC. BN:NC=4:1. Доказать, что MN параллельна AC.

Answer 1

BM/MA =4/1 ⇔MA/BM =1/4⇒1+MA/BM =1+1/4⇒BA / BM =5/4 .
BN/NC =4/1 ⇔NC/BN =1/4⇒1+NC/BN =1+1/4⇒ BC / BN =5/4 .
BA / BM =BC / BN.  ∠B _общий.  Значит ΔBMN  подобен  Δ BAC (2-ой признак). 
∠BMN = ∠BAC,  но они соответствующие   углы  ( MN  и AC  прямые , BA секущая ) ⇒∠BMN = ∠ BAC  ⇒ MN ||  AC .