Вот сильно я сомневаюсь, что, не посчитавши прежде на калькуляторе, можно будет рыть преобразования в нужном направлении, особенно от синуса к углу. От угла к синусу проще, но вопрос по другому сформулирован. На мой взгляд подтасовка преобразований.
Первые два слагаемых √(2+√3) * (√5 -1). Восьмёрку из дроби распределяем между ними
(√(2+√3))/2) * ((√5 -1)/4)
Задний радикал: группируем чётные и нечётные слагаемые
√(10(2 - √3) + 2√5(2 - √3)) = √(10+2√5) (2-√3))
И распределяем восьмёрку (√(2-√3))/2) * √(10+2√5)/4
Из предположения, что sin a = sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y
Выписываем
sin y = √(2-√3))/2 ; cos y = √(2+√3))/2 ; sin 2y = 2 sin y cos y = 1/2; 2y = pi/6; y = pi/12
sin x = (√5 -1)/4 ; cos x = √(10+2√5)/4
sin 2x = 2 sin x cos x = ((√5 -1)√(10+2√5))/8
cos 2x = cos^2 x - sin^2 x = (10 + 2√5 - 5 + 2√5 - 1)/16 = (1+√5)/4
sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = 2 * (((√5 -1)√(10+2√5))/8) * (1+√5)/4 = √(10+2√5) / 4
Получилось sin 4x = cos x или cos (pi/2 - 4x) = cos x, pi/2 - 4x = x; x = pi/10
a = x - y = pi/10 - pi/12= pi/60