В прямоугольном треугольнике АВС по Пифагору катет АС = √(АВ²-ВС²) = √(169-25) = 12.
По формуле радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим этот радиус.
Он равен r= a*b/(a+b+c), где a и и - катеты, а с - гипотенуза. У нас r= 5*12/(5+12+13) = 60/30 = 2.
В прямоугольном треугольнике АОМ по Пифагору АО = √(АМ²-ОМ²) = √(100-4) = 4√6.
Треугольники АОМ и OQP подобны, отсюда следует, что АО/OQ=ОМ/QP. Из этого соотношения имеем: 4√6/(R+2) = 2/(R-2), то есть R=(8√6+4)/(4√6-2)=4(2√6+1)/2(2√6-1).
Умножим числитель и знаменатель на (2√6+1). Тогда получим:
R=2*(2√6+1)²/((2√6)²-1²) = 2*(25+4√6)/23 = (50+8√6)/23.
1) Для решения задачи сначала найдем все исходные данные.
Найдем вектор АС: (3-0;5+1)=(3;6)
Найдем вектор СА: (0-3;-1-5)=(-3;-6)
Найдем точку В: АВ+А=(1+0;2-1)=(1;1)
Найдем вектор СВ: (1-3;1-5)=(-2;-4).
а) СВ-СА = (-2;-4) - (-3;-6) = (1;2)
б) АВ-СВ = (1; 2) - (-2;-4) = (3;6)
в) АС-АВ = (3;6) - (1; 2) = (2;4)
2) Якщо АВСД - паралелограм, то протилежні його сторони паралельні, відповідно і вектори його протилежних сторін АВ=ДС і ВС=АД.
Порахуємо відповідні вектори, щоб довести їх рівність.
АВ=(1+2;2+1)=(3;3)
ДС=(2+1;2+1)=(3;3)
Тому АВ=ДС.
ВС=(2-1;2-2)=(1;0)
АД=(-1+2;-1+1)=(1;0)
Тому ВС=АД.
Доведено: чотирикутник АВСД - паралелограм.
KD-биссектриса, отсекает равнобедренный треугольник КDC, КС=DC.
P=2*(a+b)
DC+(KC+6)=1/2*P
DC+KC+6=1/2*48
DC+KC=24-6=18
т.к. КС=DC ⇒ DC=18:2=9 см