Question

В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объём конуса, если объём шара равен $\frac{32}{3}$

варианты ответов

6

18

24

32

Answer 1

Формула объема шара
V шара=4 πr³:3
4 πr³:3=32:3 ⇒
πr³=8
Формула объема конуса
Vкон=πR²H:3
Так как диаметральное сечение (окружность ) шара вписано в правильный треугольник, его радиус rравен 1/3 высоты этого треугольника и равен 1/3 высоты конуса.
⇒Н=3r
Радиус основания конуса равен 1/2 стороны этого треугольника, которая является диаметром конуса.
Сторону треугольника ( осевого сечения конуса) найдем по синусу угла при основании:
а=Н:sin(60°)= 3r*2:√3=2r√3
Радиус R основания конуса равен половине стороны треугольника - осевого сечения конуса.
R=r√3
Подставим значение R и Н, выраженное через r, в формулу объема конуса
Vкон=πR²H:3
Vкон=π(r√3)²3r:3=3πr²*3r:3=3πr³
Из вычислений, сделанных ранее, найдено, что
πr³=8
Vкон=3*8=24

Answer 2

В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объём конуса, если объём шара равен 

 

Vшар  = 4pi*R^3/3 

32/3= 4piR^3/3

4piR^3=32

R=(8/pi)^(1/3)

теперь найдем     длину стороны    через   формулу R=√3a/6

(8/pi)^(1/3) = √3/6 *a 

 

a= 12/pi^(1/3)*√3 

 

теперь радиус  самого конуса будет равен 

 

половине стороны! 

значит он равен 

 

R= 6/pi^(1/3)*√3  

 

H=√3/2 *a  =  6/pi^(1/3) 

 

теперь все ставим  в  формулу V= piR^2/3 =    12/ pi^(2/3)*pi*6/pi^(1/3)   /3=   72/3    =24