7) 5cos^2 x + 3sin^2 x - 2cos 2x - 4sin 2x = 0
Довольно просто на самом деле.
cos 2x = cos^2 x - sin^2 x; sin 2x = 2sin x*cos x
5cos^2 x + 3sin^2 x - 2cos^2 x + 2sin^2 x - 8sin x*cos x = 0
5sin^2 x - 8sin x*cos x + 3cos^2 x = 0
Делим все на cos^2 x, не равный 0
5tg^2 x - 8tg x + 3 = 0
Квадратное уравнение относительно тангенса
(tg x - 1)(5tg x - 3) = 0
tg x = 1; x = pi/4 + pi*k
tg x = 3/5; x = arctg(3/5) + pi*k ~ 31 градус + pi*k
Промежутку [-pi/2; 2pi] принадлежат корни
x1 = arctg(3/5), x2 = pi/4, x3 = arctg(3/5) + pi, x4 = 5pi/4
8) намного сложнее, особенно cos 5x смущает.
(5x+2) (x-1)-(2x+1)(2x-1) <27
(5x+2) (x-1)-(2x+1)(2x-1)=0
5x2-5x+2x-2-4x2-1=0
2x=1,5
Пусть слуг было n , а количество золотых, получаемых одним слугой равно b.
Тогда жалованье всех слуг равно
.
Если слуг сократили на половину, то их стало n/2 . Жалованье каждый стал получать b+0,5b=1,5b золотых.
Тогда общее жалованье всех слуг cтало равно
:
Затраты царя уменьшатся на 2500 золотых.
15a^2b*25ab^2=375a^3b^3. подставляем значения: 375*(1/4)^3*4^3=375*1/64*64=375. Ответ: 375.