Question

Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(0;1), В(1;-4), С(5;2) а)найдите координаты середины D стороны ВСб) Докажите, что АD⊥ВС

Answer 1

$x_D= \frac{x_B+x_C}{2}= \frac{1+5}{2}=3 \\ \\ y_D= \frac{y_B+y_C}{2}= \frac{-4+2}{2}=-1$

Уравнение прямой ВС

$\frac{x-x_B}{x_C-x_B}= \frac{y-y_B}{y_C-y_B} \\ \\ \frac{x-1}{5-1}= \frac{y-(-4)}{2-(-4)} \\ \\ \frac{x-1}{4}= \frac{y+4}{6} \\ \\ 6\cdot(x-1)=4\cdot(y+4) \\ \\ 6x-4y-22=0$
 Нормальный вектор прямой ВС 

$\vec n_{BC}(6;-4)$

Уравнение прямой AD

$\frac{x-x_A}{x_D-x_A}= \frac{y-y_A}{y_D-y_A} \\ \\ \frac{x-0}{3-0}= \frac{y-1}{-1-1} \\ \\ \frac{x}{3}= \frac{y-1}{-2} \\ \\ -2\cdot x=3\cdot(y-1) \\ \\ 2x+3y-3=0$
Нормальный вектор прямой AD

$\vec n_{AD}(2;3)$

Нормальные векторы ортогональны, так как их скалярное произведение

$\vec n_{BC}(6;-4)\cdot \vec n_{AD}(2;3)=6\cdot 2+(-4)\cdot 3=12-12=0$

Значит и прямые ВС и AD  перпендикулярны