<em>Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 3 √2,√13 и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KС пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному.
<u>Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°
</u></em>---------
Треугольник АВС тупоугольный (АС²>АВ²+ВС²); против большего угла лежит большая сторона.
АС-большая сторона.⇒∠ В>90º.
Т.к. по условию ∠ КАС>90º, а ∆ АКС ~ ∆ АВС, ∠КАС=∠В.
Тогда, поскольку треугольники подобны,
∠ КАС >90º, КС - большая сторона ∆ АКС.
∠АКС=∠ВСА
По т.косинусов
АВ²=АС²+ВС² -2 АС*ВС*cos∠ACB ⇒
cos∠ACB=(АВ²-АС²-ВС²)/( -2АС*ВС)
cos∠ACB=6/(-6√2)=1/√2=(√2)/2⇒
cos<span>∠АКС=(√2)/2 - это косинус угла=45º</span>
Пусть MNK x°, тогда KNP (x-48)°. Их сумма равна (х+х-48)°, что по условию равно 180°. Уравнение
2х=180+48
2х=228
х=114
Ответ: MNK = 114°
10) АВ=7,т.к. АВС равнобедренный
11)АВ=7т.к.АВС равнобедренный
12)АВ=4,т.к.АВС равнобедренный
Тут в чём фишка - надо сразу заметить, что высота и половина основания относятся как 4:3, а значит гипотенуза (в данном случае это боковая сторона) будет с ними относиться как 5:4:3. Поэтому АВ=ВС= 5*2 = 10 см.
Отсюда просто делишь:
синус = 4/5 = 0,8
косинус = 3/5 = 0,6
тангенс = 4/3 = 1,3333333333
<span><em>Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 73 см, а площадь 1320 см²</em>
</span><em><u>Найти катеты.</u></em>
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Следовательно,<em> аb=2S=2640, </em>где <em>а </em>и<em> b-</em> катеты.
По т.Пифагора
<span>а²+b²=73²
</span>Составим систему уравнений:
|......аb=2640
<span><u>|.а²+b²=73²</u>
</span>Умножив первое уравнение на 2 и сложив оба уравнения, получим:
<span>а²+2аb+b²=10609
</span><span>(а +b)²=10609
</span>С помощью калькулятора найдем
<span>а +b=√10609=103 cм
</span>b=103-а
ab=(103-a)*a
<span>103а-а²=2460
</span><span>а²-103а+2460
</span><span>Решив квадратное уравнение, получим два корня
</span><span>а₁=48 см
</span><span>а₂=55 см
</span>b₁=103-48=55<span> см
b</span>₂=48 см<span>
Ответ: Катеты равны 48 см и 55 см</span>
