Question

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС=а медиана АМ перпендикулярна биссектрисе СК и пересекает её в точке О. Найти АМ, СК и площадь четырёхугольника ВМОК.

Answer 1

1) В треугольнике АСМ СО - биссектриса и высота, значит он равнобедренный,

СМ = СА = а,

М - середина ВС, ⇒ ВМ = СМ = а; АВ = ВС = 2а.

ΔВСН: cos∠ACB = HC/BC = a/2 / (2a) = 1/4

Из ΔAMCпо теореме косинусов:

AM² = AC² + CM² - 2AC·CM·cos∠ACB

AM² = a² + a² - 2a·a·1/4 = 2a² - a²/2 = 3a²/2

AM = a√3/√2 = a√6/2

2) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

ВК : АК = ВС : АС = 2а : а = 2 : 1, ⇒

АК = 1/3 AB = 1/3 · 2a = 2a/3

cos∠BAC = cos∠BCA = 1/4 (углы при основании равнобедренного треугольника)

Из ΔАКС по теореме косинусов:

CK² = AK² + AC² - 2AK·AC·cos∠BAC

CK² = 4a²/9 + a² - 2 · 2a/3 · a · 1/4 = 13a²/9 - a²/3 = 10a²/9

CK = a√10/3

3) Samc = 1/2 AC·CM·sin∠BCA

sin∠BCA = √(1 - cos²∠BCA) = √(1 - 1/16) = √(15/16) = √15/4

Sacm = 1/2 · a · a · √15/4 = a²√15/8

Sabm = Sacm = a²√15/8 так как медиана делит треугольник на два равновеликих.

AO = OM = AM/2 = a√6/4 (так как ΔАМС равнобедренный)

ΔАКО: AO = a√6/4, AK = 2a/3, по теореме Пифагора

           OK = √(AK² - AO²) = √(4a²/9 - 6a²/16) = √(64a²/144 - 54a²/144) = √(10a²/144) =

                 = a√10/12

Saok = 1/2 OK · AO = 1/2 · a√10/12 · a√6/4 = a²√60/96 = a²√15/48

Sbmok = Sabm - Saok = a²√15/8 - a²√15/48 = 5a²√15/48