Вектор АС = вектор АВ + вектор ВС.
Вектор ВD = вектор АD - вектор АВ.
Вектор АВ = (3-(-3); -1-(-2); 1-0) = (6; 1; 1).
Вектор ВС = (5-3; 0-(-1); 2-1) = (2; 1; 1).
Вектор AD = вектору ВС. Поэтому AD (2; 1; 1).
Вектор АС = (6; 1; 1) + (2; 1; 1) = (8; 2; 2).
Вектор ВD = (2; 1; 1) - (6; 1; 1) = (-4; 0; 0).
![cos\alpha= \frac{AC*BD}{|AC|*|BD|}=\frac{8*(-4)+2*0+2*0}{ \sqrt{ 8^{2}+2^{2}+2^{2}}*\sqrt{ (-4)^{2}+0^{2}+0^{2}}}=-\frac{32}{\sqrt{72}*4}=-\frac{8}{\sqrt{72}}=](https://tex.z-dn.net/?f=cos%5Calpha%3D+%5Cfrac%7BAC%2ABD%7D%7B%7CAC%7C%2A%7CBD%7C%7D%3D%5Cfrac%7B8%2A%28-4%29%2B2%2A0%2B2%2A0%7D%7B+%5Csqrt%7B+8%5E%7B2%7D%2B2%5E%7B2%7D%2B2%5E%7B2%7D%7D%2A%5Csqrt%7B+%28-4%29%5E%7B2%7D%2B0%5E%7B2%7D%2B0%5E%7B2%7D%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B32%7D%7B%5Csqrt%7B72%7D%2A4%7D%3D-%5Cfrac%7B8%7D%7B%5Csqrt%7B72%7D%7D%3D)
![=-\frac{8}{6\sqrt{2}}=-\frac{4}{3\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%3D-%5Cfrac%7B8%7D%7B6%5Csqrt%7B2%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B4%7D%7B3%5Csqrt%7B2%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B3%7D)
α = 180° - arc cos
![(\frac{2\sqrt{2}}{3})](https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B3%7D%29)
Эта задача имеет 2 варианта решения:
1) геометрический,
2) векторный.
1) Из условия расположения точки К (<span>точка К лежит на стороне основания AB и делит ее в отношении 1:5, считая от А) примем длину стороны основания, равной 6.
Высота пирамиды будет равна (6/2)*tg</span>α = 3√2.<span>
Апофема А равна </span>√((3√2)²+3²) = √(18+9) = √27 = 3√3.
Находим длину отрезка КМ в плоскости грани АМВ:
КМ = √(((6/2)-1)²+А²) = √(4+27) = √31.
Надо найти проекцию КМ на плоскость ДМС.
Одна точка - это точка М.
Вторая находится как точка пересечения плоскости ДМС перпендикуляром из точки К.
Для этого проведём секущую плоскость через точку К перпендикулярно ДС. В сечении имеем линию максимального наклона плоскости ДМС к плоскости основания.
По заданию этот угол равен arc tg √2 = <span><span><span>
0,955317 радиан = </span>54</span></span>,73561°.
<span>Перпендикуляр пересекает плоскость ДМС в точке Р.
</span>КР = 6*sin α.
Синус находим через заданный тангенс:
sin α = tg α/(√(1+tg²α) = √2/(√1+2) = √2/√3.
Тогда КР = 6*(√2/√3) = 2√6.
Теперь надо найти положение точки Р.
Опустим перпендикуляр h из точки Р на основание пирамиды.
h = KP*sin(90-α) = KP*cos α.
cos α = √(1 - sin²α) = √(1 - (2/3)) = 1/√3.
h = РT = (2√6)*(1/√3) = 2√2. (Т - это проекция точки Р на основание).
КТ = √(КР² - h²) = √(24 - 8) = √16 = 4.
Проекция РМ на основание равна √(2²+1²) = √5.
По вертикали это разность высот точек М и Р: 3√2 - 2√2 = √2.
Отсюда длина РМ равна √(5+2) = √7.
Найдены длины сторон треугольника КРМ с искомым углом КМР:
РМ = √7, КМ = √31, РК = 2√6.
По теореме косинусов находим <КМР = φ:
cos φ = (7+31-24)/(2*√7*√31) = 14/29,46184 = 0,475191.
φ = <span><span><span>
1,07561528 радиан =
</span>
61,6282156</span></span>°.
<span>
2) Решение по этому варианту дано в приложении.
</span>Пирамиду располагаем в прямоугольной системе координат точкой Д - в начале, АД - по оси Ох, СД - по оси Оу.
А(6;0;0),В(<span>6;6;0), С(0;6;0), Д(0;0;0), М(3;3;3</span>√2), К(6;1;0) и Р(2;1;2√2).
По трём точкам находим уравнение плоскости ДМС, по двум - уравнение прямой КМ и затем угол между ними.
Гипотенуза DE=28
Катет DF лежит напротив угла в 30 градусов
Это значит что DF=2DE
Площадь ромба равна 1/2d1d2,d1 и d2 - диагонали ромба
S=1/2*2,4*1,6=1,92
Вроде так