Я пишу решение "вслепую", так что проверяйте потом.
Пусть O1 - центр окружности радиуса 4 (на ней пусть лежит точка A); O2 - центр второй окружности.
Тут кругом прямые углы. Логичнее начать с пункта в)
Отрезки O1A и O2B оба перпендикулярны AB => O1A II O2B;
=> ∠AO1P + ∠BO2P = 180°; Это центральные углы дуг AP и BP;
=> ∠PAB + ∠PBA = 90°; => ∠APB = 90°;
б) O1K - биссектриса ∠AKP; O2K = биссектриса ∠BKP;
Половины этих углов в сумме составляют ∠O1KO2; то есть
∠O1KO2 = 90°;
PK - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике O1KO2;
и она делит гипотенузу на отрезки 4 и 11; поэтому PK^2 = 4*11 = 44;
PK = 2√11
а) AB найти проще всего. Из O1 надо провести прямую перпендикулярно O2B (и параллельно AB); получается прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 + 11 =15; и катетом 11 - 4 = 7; откуда AB^2 = 15^2 - 7^2 = 11*16;
AB = 4√11;
PK = AB/2; что совсем не удивительно (я тут нарочно схитрил, чтобы подольше понабирать решение.)
Дело в том, что PK - медиана в прямоугольном треугольнике APB, то есть PK = AB/2; сразу без всяких вычислений.
Но зато ответ получен двумя разными способами. Можно выбирать, что считать и каким способом, PK или AB...
P=2a+b
1) P=2*5+7=17
2)P=2*8+10=18
Я правильно поняла биссектриса пересекает сторону ВС в точке М
Рассмотрим тр-к АМС
пусть угол МАС=х
тогда угол МСА=2х
по теореме о сумме углов тр-ка
х+2х+120=180
угол МАС=х=20град
т. к АМ биссектриса
уголВАМ=уголМАС=20град
Рассмотрим тр-к АВС
УголВ=180-40-40=100град
Рассмотрим тр-к АВN
т. к. диагональ ромба является биссектрисой то
угАВN=100/2=50град
угАNВ=180-50-20=110
Отрезки KM, MN, KN средние линии и поэтому они в два раза короче сторон.<span>Соответственно периметр треугольника KMN в два раза меньше периметра треугольника ABC</span>
