Странно, что вопрос касается частного детского садика. Я помню свое детство в нашем городе было несколько детских садиков и, вероятно, у них были какие "административные координаты" - детский сад № какой-то - но все их знали по названиям: Солнышко, Белочка, Ромашка (это те, в которые я сама ходила, но садов было больше).
То есть и частный садик можно назвать подобным образом, например, по названию каких-то цветов или животных, птиц, явлений природы: Подсолнечник, Березка, Цветочек, Воробышек, Синичка, Медвежонок, Лисенок, Радуга, Сияние, Лучик, Ручеёк, Капелька.
Что же касается современности, то ведь это понятие относительное: животные, растения - они ведь всегда современны.