Нет, необязательно, знаю некоторых, кто сдает без договора. Но очень и очень желательно.
Причем и для арендодателя, и для арендатора.
Причины для арендодателя - прописать срок аренды, размер и форму оплаты, описать имущество, за которую арендатор несет ответственность (и даже залог можно потребовать), описать состояние квартиры, прописать ответственность за причинение ущерба, указать паспортные данные (чтоб в случае чего знать, кого искать и с кого спрашивать).
Причины для арендатора - прописать срок и стоимость аренды, чтобы раньше времени вас не выгнали или не повысили стоимость аренды, прописать паспортные данные хозяина и документ-основание для сдачи квартиры (вдруг мошенники квартиру сдадут), прописать, кто несет дополнительные расходы - квартплату, свет, вызов слесаря, сломавшийся кран. Иначе потом с вас могут что-то потребовать сверх оговоренной суммы. Иногда в счет оплаты можно договориться ремонт сделать - это тоже лучше отразить в договоре, а то потом вам заявят, что ремонт вы делали по своей инициативе, а деньги за аренду по договору должны заплатить.
В договоре же можно поставить и строчки для подписи хозяина о получении денег.