![3\log_{x-2}(8-x)+1\geqslant\dfrac14\log_{x-2}^2(x^2-10x+16)^2\\ 3\log_{x-2}(8-x)+1\geqslant\dfrac14\log^2_{x-2}((x-8)(x-2))^2\\ 3\log_{x-2}(8-x)+1\geqslant\dfrac14(\log_{x-2}(x-8)^2+\log_{x-2}(x-2)^2)\\ 3\log_{x-2}(8-x)+1\geqslant\dfrac14(2\log_{x-2}(8-x)+2)^2\\ 3\log_{x-2}(8-x)+1\geqslant\log^2_{x-2}(8-x)+2\log_{x-2}(8-x)+1\\ \log_{x-2}^2(8-x)-\log_{x-2}(8-x)\leqslant0\\ \log_{x-2}(8-x)(\log_{x-2}(8-x)-1)\leqslant 0](https://tex.z-dn.net/?f=3%5Clog_%7Bx-2%7D%288-x%29%2B1%5Cgeqslant%5Cdfrac14%5Clog_%7Bx-2%7D%5E2%28x%5E2-10x%2B16%29%5E2%5C%5C%0A3%5Clog_%7Bx-2%7D%288-x%29%2B1%5Cgeqslant%5Cdfrac14%5Clog%5E2_%7Bx-2%7D%28%28x-8%29%28x-2%29%29%5E2%5C%5C%0A3%5Clog_%7Bx-2%7D%288-x%29%2B1%5Cgeqslant%5Cdfrac14%28%5Clog_%7Bx-2%7D%28x-8%29%5E2%2B%5Clog_%7Bx-2%7D%28x-2%29%5E2%29%5C%5C%0A3%5Clog_%7Bx-2%7D%288-x%29%2B1%5Cgeqslant%5Cdfrac14%282%5Clog_%7Bx-2%7D%288-x%29%2B2%29%5E2%5C%5C%0A3%5Clog_%7Bx-2%7D%288-x%29%2B1%5Cgeqslant%5Clog%5E2_%7Bx-2%7D%288-x%29%2B2%5Clog_%7Bx-2%7D%288-x%29%2B1%5C%5C%0A%5Clog_%7Bx-2%7D%5E2%288-x%29-%5Clog_%7Bx-2%7D%288-x%29%5Cleqslant0%5C%5C%0A%5Clog_%7Bx-2%7D%288-x%29%28%5Clog_%7Bx-2%7D%288-x%29-1%29%5Cleqslant+0)
Теперь воспользуемся теоремой о знаке логарифма, оно же метод рационализации, ....
Суть метода: если логарифмы определены, то
![\log_{f(x)}g(x)-\log_{f(x)}h(x)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog_%7Bf%28x%29%7Dg%28x%29-%5Clog_%7Bf%28x%29%7Dh%28x%29)
даёт такой же знак, что и
![(f(x)-1)(g(x)-h(x))](https://tex.z-dn.net/?f=%28f%28x%29-1%29%28g%28x%29-h%28x%29%29)
.
ОДЗ: x - 2 > 0, x - 2 ≠ 1, 8 - x > 0
x ∈ (2, 3) ∪ (3, 8)
На ОДЗ неравенство равносильно такому:
![(x-3)^2(8-x-1)(8-x-(x-2))\leqslant 0\\ (x-3)^2(7-x)(10-2x)\leqslant0\\(x-3)^2(x-5)(x-7)\leqslant0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x-3%29%5E2%288-x-1%29%288-x-%28x-2%29%29%5Cleqslant+0%5C%5C%0A%28x-3%29%5E2%287-x%29%2810-2x%29%5Cleqslant0%5C%5C%28x-3%29%5E2%28x-5%29%28x-7%29%5Cleqslant0)
Получилось обычное равенство, которое легко решается методов интервалов:
![x\in\{3\}\cup[5,7]](https://tex.z-dn.net/?f=x%5Cin%5C%7B3%5C%7D%5Ccup%5B5%2C7%5D)
Это решение, кроме 3, входит в ОДЗ, поэтому окончательный ответ такой:
![\boxed{x\in[5,7]}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Bx%5Cin%5B5%2C7%5D%7D)
![3\sqrt5=\sqrt{3^2\cdot 5}=\sqrt{45}\\\\45\ \textless \ 49\ \textless \ 59\; \; \Rightarrow \; \; \; \sqrt{45}\ \textless \ \sqrt{49}\ \textless \ \sqrt{59}\\\\\sqrt{49}=7](https://tex.z-dn.net/?f=3%5Csqrt5%3D%5Csqrt%7B3%5E2%5Ccdot+5%7D%3D%5Csqrt%7B45%7D%5C%5C%5C%5C45%5C+%5Ctextless+%5C+49%5C+%5Ctextless+%5C+59%5C%3B+%5C%3B+%5CRightarrow+%5C%3B+%5C%3B+%5C%3B+%5Csqrt%7B45%7D%5C+%5Ctextless+%5C+%5Csqrt%7B49%7D%5C+%5Ctextless+%5C+%5Csqrt%7B59%7D%5C%5C%5C%5C%5Csqrt%7B49%7D%3D7)
Между заданными числами расположено целое число 7 .
Sin(-675⁰)=sin(-720⁰+45⁰)=sin(-4π+45⁰)=sin45⁰=√2/2;
Здесь нужно вынести общий множитель за скобки
x(x-7)+3(x-7)=0
(x-7)(x+3)=0
.т.к произведение равно 0 то один из его множитель равен 0
это уравнене распадается на 2
x-7=0 или x+3=0
x1=7 x2=-3
Ответ : x1=7,x2=-3
Тут следует сказать, что минимум функции все-таки определяется наличием нуля в производной. То есть минимум - будет критической точкой. А вот наименьшее значение функции - обычно это понятие применяется, если речь ведут об отрезке или интервале (как конечном так и бесконечном). Насчет минимума функции - не знаю случаев, когда он не достижим. Насчет наименьшего значения - этого утверждать не могу. Он может и не достигаться.
Например.
![f(x)=x^3-5*x^2+3x+1](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3Dx%5E3-5%2Ax%5E2%2B3x%2B1)
Найдем производную.
![f'(x)=3*x^2-10*x+3](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D3%2Ax%5E2-10%2Ax%2B3)
Производную приравняем нулю
![3*x^2-10*x+3=0](https://tex.z-dn.net/?f=3%2Ax%5E2-10%2Ax%2B3%3D0)
![(3x-1)(x-3)=0](https://tex.z-dn.net/?f=%283x-1%29%28x-3%29%3D0)
![x_1=\frac{1}{3},\quad x_2=3](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5Cquad+x_2%3D3)
В точке х=3 производная меняет знак с минуса на плюс (это минимум),
Значение функции равно (-8).
В точке
производная меняет знак с плюса на минус - это максимум.
А вот наименьшее значение функции на всей оси недостижимо. Это
при
.