Question

В прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе равна 50 см, а высота 48 см. Найдите периметр треугольника

Answer 1

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузе.
Тогда $BC = 2AM = 2 \cdot 50 = 100$
Высота в прямоугольном треугольнике является средним геометрический для проекций катетов на гипотенузу, т.е.:
$AH = \sqrt{BH \cdot HC}$.
Пусть BH = x. Тогда HC = (100 - x). Получим уравнение:
$x(100 - x) = 48^2 \\ -x^2 + 100x = 2304 \\ x^2 - 100x + 2304 = 0 \\ x^2 - 100x + 2500 - 196 = 0 \\ (x - 50)^2 - 14^2 = 0 \\ (x - 50 - 14)(x - 50 + 14) = 0 \\ x = 64 \ \ \ \ \ \ \ x = 36$
Значит, BH = 64 или 36, а HC = 36 или 64.
Для удобства пусть BH = 36, а HC = 64.
По теореме Пифагора в ΔABH:
$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{48^2 + 36^2} = \sqrt{2304 + 1296} = \sqrt{3600} = 60.$
По теореме Пифагора в ΔABC:
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{100^2 - 60^2} = \sqrt{10000 - 3600} = \sqrt{6400} = 80$
$P_{ABC} = AB + AC + BC = 100 + 80 + 60 = 240.$
Ответ: $P_{ABC} = 240 \ cm.$