Question

Через вершину прямого угла С треугольника АВС проведена плоскость а ‚ параллельная гипотенузе АВ. Биссектриса угла А треугольника пересекает плоскость а в точке 0. Найдите длину отрезка АО, если АВ = 10, ВС = 8.
Вот примерный рисунок, для удобства:
Варианты ответов:
а) 5 sqrt5
б) 5
в) 4 sqrt6
г) 4.8 sqrt5
д) 6 sqrt5

Answer 1

ΔABC - прямоугольный. Теорема Пифагора
AC² = AB² - CB² = 10² - 8² = 36
AC = 6
AK - биссектриса  ⇒
$\frac{KB}{KC} = \frac{AB}{AC} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
KB + KC = BC = 8  ⇒    KB = 5;    KC = 3

ΔACK - прямоугольный. Теорема Пифагора
AK² = AC² + KC² = 6² + 3² = 45
AK = √45 = 3√5

AB║CO ⇒ ∠BAO = ∠COA  (накрест лежащие углы) ⇒
∠CAO = ∠ COA      ⇒   ΔACO - равнобедренный  ⇒
CO = AC = 6
ΔAKB ~ ΔOKC по двум равным углам:
вертикальному ∠K   и   ∠BAK = ∠COK (накрест лежащие)
$\frac{AB}{CO} = \frac{AK}{KO} \\ \\ KO = \frac{CO*AK}{AB} = \frac{6*3 \sqrt{5} }{10} =1,8 \sqrt{5}$
AO = AK + KO = 3√5 + 1,8√5 = 4,8√5
Ответ: Г)   AO = 4,8√5