Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD основание ABCD - квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 12. На ребре SA отмечена точка М так, что SM=6
а) Постройте перпендикуляр из точки S на плоскость ВСМ.
б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости BCM.

Answer 1

Уравнение медианы: М=(1/2)*√(2a²+2b²-c²).
Тогда СN=(1/2)*√(2CS²+2CD²-SD²)=3√6.
CN=BM=3√6.
MP=NP=3√6 (так как MN - средняя линия треугольника ВРС).
PQ -медиана. PQ=(1/2)*√(2MP²+2NP²-MN²)=(1/2)*√(4*54-9)=1,5√23.
Тогда площадь треугольника MPN:
Smpn=(1/2)*PQ*MN=(1/2)*1,5√23*3=2,25√23.
Из формулы для медианы SN треугольника РSC найдем сторону SP.
SN=(1/2)*√(2CS²+2SP²-CP²). Или 6=(1/2)*√(288+2SP²-216), так как СP=NP+HC=6√6. Тогда 12=√(72+2SP²). Или 144=72-2SP². Отсюда
SP=√36=6. Мы видим, что SP=SM=Sn=6. Следовательно, в пирамиде SMPN боковые ребра равны, а это значит, что вершина S проецируется в центр описанной окружности треугольника MPN, радиус которой равен по формуле: R=abc/4S.
В нашем случае R=3*54/9√23=18/√23.
Тогда из прямоугольного треугольника PSH имеем по Пифагору:
SH=√(SP²-PH²)=√(SP²-R²)=√(36-324/23)=√(36-324/23)=
=√(504/23)=6√14/√23.
Ответ: расстояние от вершины S до плоскости ВСМ равно 6√14/√23.

Второй вариант - координатный метод.
Так как пирамида правильная, в основании - квадрат.
Диагональ квадрата равна в нашем случае 6√2.
Высота пирамиды по Пифагору SO=√(SC²-OC²)=√(144-18)=3√14.
Даны точки: В(0;0;0), С(6;0;0), М(1,5;1,5√14;4,5). S(3;3√14;3). Составим уравнение  плоскости через три точки:
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
|x - xВ  xС-xВ  xМ-xВ|
|y - yВ  yС-yВ  yМ-yВ| = 0.
|z - zВ  zС-zВ  zМ-zВ|
Подставим данные трех наших точек:
|x-0  6-0       1,50    |                  |x-0  6     1,5    |
|y-0  0-0   1,5√14-0 | = 0.   Или |y-0  0  1,5√14 | = 0.
|z-0  0-0      4,5 0    |                  |z-0  0     4,5    |
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
         |0 1,5√14 |            |6  1,5|            |6     1,5   |
(х-0)*|0    4,5    | - (y-0)*|0  4,5| +(z-0)*|0  1,5√14| =0.
(х-0)(0-0)-(y-0)(27-0)+(z-0)(9√14-0)=0.    Или
0х-27y+9√14z=0.
Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от  точки S(Sx, Sy, Sz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:
d=|A*Sx+B*Sy+C*Sz+D|/√(A²+B²+C²) или
d=|0-27*3√14+9√14*3+0|/√(0+729+1134)=
54√14/√1863=9*6√14/9√23=6√14/√23.
Ответ: расстояние от вершины пирамиды до плоскости ВСМ равно 6√14/√23.