Question

Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы f (x) = 2x – ln x

Answer 1

$\\f(x)=2x-\ln x\\ x>0\\ f'(x)=2-\frac{1}{x}\\ 2-\frac{1}{x}=0\\ \frac{1}{x}=2\\ 2x=1\\ x=\frac{1}{2}$

 

при x∈(0,1/2) f'(x)<0 ⇒ функция убывает

при x∈(1/2,∞) f'(x)>0 ⇒ функция возрастает

в точке 1/2 находится минимум

 

$\\f_{min}(x)=2\cdot\frac{1}{2}-\ln \frac{1}{2}\\ f_{min}(x)=1-(\ln 1-\ln2)\\ f_{min}(x)=1-(-\ln2)\\ f_{min}(x)=1+\ln2$

Answer 2

f(x) = 2x – ln x

ОДЗ: х>0

f'(x) = 2 – 1/x

f'(x) = 0

2 – 1/x = 0

2х = 1

х = 0,5

разбиваем область определения функции f(x) на интервалы и определяем знак производной f'(x) в этих интервалах

       -                    +

0 ---------- 0,5 -------------

f'(0,25) = 2-1/0,25 = 2-4 = -2   f'(x)<0   ⇒  f(x)  убывает

f'(1) = 2-1/1 = 2-1 = 1   f'(x)>0   ⇒  f(x)  возрастает

Итак, при х∈(0; 0,5]  f(x)  убывает

         при х ∈[ 0,5; +∞) f(x) возрастает

В точке х = 0,5 производная меняет знак с - на + , следовательно, это точка минимума.

уmin = у(0,5) = 2·0,5 – ln 0,5 ≈ 1 - 0,693 ≈ 0,307